An approach to solution of algebraic equations of the third and fourth degrees.pdf Развитие механики и её применение к решению инженерных задач сопровож-даются поиском корней алгебраических уравнений 3-й и 4-й степеней. К одномуиз таких уравнений, например, пришёл С.А. Чаплыгин [1, с. 111] при разработкепервой законченной теоретической схемы обтекания крыла (уравнение Чаплыги-на). Такие уравнения могут использоваться в инженерных расчётах для обеспече-ния устойчивости и определения допустимых колебаний упругих систем, напри-мер при проектировании процесса прокатки [2, с. 77].Для нахождения корней алгебраических уравнений 3-й и 4-й степеней инже-нер-проектировщик (инженер) может использовать аналитические и численныеметоды или системы компьютерной математики (MathCAD, Maple, …). Однакоему естественнее использовать не эти средства, а таблицы, позволяющие ему опе-ративно и самостоятельно находить корни с помощью простейших компьютерныхпрограмм. Однако в настоящее время такие таблицы отсутствуют даже в попу-лярных справочниках [3 - 7], а инженер заинтересован в их разработке. Лучшиеварианты таких таблиц, в случае их разработки, не должны заставлять инженеравыполнять следующие действия, изложенные в существующих справочниках всвязи с описанием способов нахождения корней уравнений 3-й и 4-й степеней:извлечение кубических корней из комплексных чисел, приведение исходногоуравнения к специальному виду, проверка корней вспомогательных квадратныхуравнений на предмет их идентификации как корней исходного уравнения 4-йстепени, решение тригонометрических уравнений, использование численных ме-тодов, использование элементарных методов решения алгебраических уравнений.Разработке таблиц, удовлетворяющих этому требованию, посвящена данная работа.В работе предлагаются теоретически обоснованные табл. 1 и табл. 2.В основу табл.1 положены результаты усовершенствования известной таблицы[5, с. 22] для решения уравнений 3-й степени. Таблица из [5] рассчитана на урав-нение специального вида, требует решения вспомогательных тригонометрическихуравнений, не охватывает всех случаев значений коэффициентов исходного урав-нения. Табл. 2 является результатом развития известного способа [7, с. 27] сведе-ния решения уравнения 4-й степени к решению вспомогательного уравнения3-й степени и одной пары вспомогательных квадратных уравнений, который, какустанавливается в данной работе, требует проверки корней вспомогательныхквадратных уравнений на предмет их идентификации как корней исходного урав-нения 4-й степени.Табл. 1 рассчитана на уравнение 3-й степениax3 + bx2 + cx + d = 0. (1)В ней величины p и q выражаются через коэффициенты уравнения с помощью со-отношенийp=9 - 1a - 2(3ac - b2),q=27 - 1a - 3b3 - 6 - 1a - 2bc + 2 - 1a - 1d. (2)В табл. 1 приведены отсутствующие в справочниках формулы для вычислениякорней и использованы такие формулы для вычисления значения величины ƒ, ко-торые выведены из соотношений, представленных в [5], и в литературе отсутст-вуют. Справедливость формул для корней вытекает из совпадения результатовпреобразования выражения a (x - x1) (x - x2) (x - x3) с левой частью уравнения (1)для всех случаев значений величин p и q.Т а б л и ц а 1Случаи r s ƒ Корни1 p=0,q=0x1= - 3 - 1ba- 1x2= - 3 - 1ba- 1x3= - 3 - 1ba- 12 p=0,q>0x1= - exp(3 - 1ln(2q)) - 3 - 1ba- 1x2={2 - 1exp(3 - 1ln(2q)) - 3 - 1ba- 1}++i{31/22 - 1exp(3 - 1ln(2q))}x3={2 - 1exp(3 - 1ln(2q)) - 3 - 1ba- 1} -- i{31/22 - 1exp(3 - 1ln(2q))}3 p=0,q0,q=0x1= - 3 - 1ba- 1x2= - 3 - 1ba- 1 + i (3p)1/2x3= - 3 - 1ba- 1 - i (3p)1/25 p0;r = - |p|1/2,если q0, (u1/2)2 - a0>0, a3u1 - 2a10, d2>0, a3u1 - 2a1≥0; d1=0, d2>0;d2=0, d1>0; d1=0, d2=0ƒ2+(a3/2+|d1|1/2)ƒ +u1/2+|d2|1/2=0ƒ2+ (a3/2 - |d1|1/2)ƒ +u1/2 - |d2|1/2=02 d1>0, d2>0, a3u1 - 2a10;d2=0, d1>0; d1=0, d2=0ƒ2+(a3/2+|d1|1/2)ƒ +u1/2 - |d2|1/2=0ƒ2+(a3/2 - |d1|1/2)ƒ +u1/2+|d2|1/2=03 d1

Скачать электронную версию публикации