K-contact structures on Lie groups.pdf 1. Предварительные сведенияПусть G = G2n+1 - группа Ли размерности 2n+1 и L(G) - ее алгебра Ли, отожде-ствляемая с касательным пространством TeG к G в единице e. Левоинвариантнаядифференциальная 1-форма ƒ на G является контактной формой, еслиƒ (dƒ)n 0 всюду на G. В этом случае (G, ƒ) (соответственно (L(G), ƒ)) называ-ется контактной группой Ли (соответственно контактной алгеброй Ли). Вектор-ным полем Риба называется единичное векторное поле ƒ на G, удовлетворяющееусловиям: dƒ(ƒ,X) =0для всех X и ƒ(ƒ) =1. Если (G, ƒ) - контактная группа Ли,то контактной метрической структурой называется четверка (ƒ, ƒ, ƒ, g), где ƒ - ле-воинвариантный аффинор на G и g - левоинвариантная риманова метрика, для ко-торой имеют место следующие свойства:ϕ2 = −I + ƒ⊗ƒ, g(X,Y)= g(ϕX,Y), g(ϕX,ϕY)=g(X,Y)−ƒ(X)ƒ(Y),где I - тождественный эндоморфизм L(G) [1]. Риманова метрика g контактнойметрической структуры называется ассоциированной. В работе [2] приведеныспособы построения семейств ассоциированных метрик, определяемых аффино-ром ƒ. На контактном метрическом многообразии определены два тензора: N(1) иN(3) следующими выражениями [1]:N(1)(X,Y)=[ϕ,ϕ](X,Y)+dƒ(X,Y)ƒ, N(3)(X)=(Lƒϕ)X.Контактная метрическая структура (ƒ, ƒ, ƒ, g) называется K-контактной, еслиполе Риба ƒ порождает группу изометрий метрики g, т.е. поле Риба ƒ являетсякиллинговым относительно метрики g. Таким образом, для K-контактной струк-туры Lƒg = 0 . Поскольку Lƒƒ = 0 для любой контактной структуры иg(X,Y)=dƒ(X,ϕY)+ƒ(X)ƒ(Y), то контактная метрическая структура являетсяK-контактной тогда и только тогда, когда Lƒϕ = 0 , т.е. когда тензор N(3)(X) обраща-ется в нуль [1]. Отметим также, что контактная метрическая структура являетсяK-контактной тогда и только тогда, когда 1Xƒ = 2 ϕX [1].В случае левоинвариантных структур на группе Ли можно получить следую-щее условие K-контактности:(Lƒg)(X,Y)= ƒg(X,Y)−g(LƒX,Y)−g(X,LƒY)= −g([ƒ,X],Y)−g(X,[ƒ,Y])=0.Таким образом, контактная метрическая структура (ƒ, ƒ, ƒ, g) является K-контактной, если оператор adƒ на алгебре Ли L(G) является кососимметрическим,g([ƒ,X],Y)=−g(X,[ƒ,Y]) .Пусть at - однопараметрическая подгруппа, порожденная полем Риба ƒ,at =exp(tƒ) . Она действует на группе Ли G справа. При этом действии форма ƒсохраняется, Lƒƒ = 0 . Поскольку форма ƒ является еще и левоинвариантной, то изLƒƒ = 0 следует, что adƒ*ƒ = 0 и *Adat ƒ = ƒ .Рассмотрим замкнутую подгруппу F, которая сохраняет контактную форму ƒ:F={gG:Adg*(ƒ)=ƒ}.В работе [3] показано, что подгруппа F является одномерной, контактная фор-ма ƒ является формой связности главного расслоения ƒ:GG/F и dƒ - формакривизны. При этом форма dƒ опускается на однородное пространство G/Fи яв-ляется там симплектической формой ƒ, ƒ*(ƒ)= dƒ.Однопараметрическая подгруппа at, порожденная полем Риба ƒ, является связ-ной компонентой F0 группы изотропии F и поэтому также является замкнутойподгруппой группы Ли G. Следовательно, фактор-пространство M =G/F0 явля-ется гладким дифференцируемым многообразием.Поскольку Lƒg = 0 и Lƒϕ = 0 , то при проекции ƒ:GM=G/F0 метрика g иаффинор ƒ опускаются на M и образуют там почти кэлерову структуру (gM, ƒ, J).Почти комплексная структура J определяется следующим образом:J(dƒ(X))=dƒ(ϕX), XTgG.Другими словами,J(V)=dƒ(ϕ(dƒ−1(V))), VTxM,где отображение dƒ−1 :TxMTgG вектору VTxMставит в соответствие векторdƒ−1(V) из площадки контактного распределения D = ker(ƒ). Проекцияƒ:GM=G/F0 является тогда римановой субмерсией. Поэтому свойства кон-тактной метрической структуры (ƒ, ƒ, ƒ, g) тесно связаны со свойствами почти кэ-леровой структуры (gM, ƒ, J) на базе M =G/F0 .2. Тензор РиччиВ данном разделе мы приведем явные формулы для вычисления элементовримановой субмерсии ƒ:GM=G/F0 в случае левоинвариантной K-контактной структуры (ƒ, ƒ, ƒ, g) на группе Ли G2n+1. Напомним, что на M имеетсяпочти кэлерова структура (gM, ƒ, J), такая, что *( ƒ( gM)=g на горизонтальныхвекторных полях, ƒ*(ƒ)= dƒ и ƒ*(J)=ϕ. В качестве горизонтального распреде-ления возьмем контактное распределение, образованное векторами E1,…,E2n. Вер-тикальное распределение порождено полем Риба ƒ. Для единообразия будем обо-значать его символом E2n+1. Базис E1,…,E2n+1 предполагается ортонормированным.В данном базисе выразим условие K-контактности Lƒg = 0 :(Lƒg)(Ei,Ej)= ƒg(Ei,Ej)−g(LƒEi,Ej)−g(Ei,LƒEj)=([ , ], ) ( ,[ , ]) 2j 1, 2i 1, 0i j i j n j n i g E E gE E C C+ = − ƒ − ƒ = − + − = .Получаем условие K-контактности:2j 1, 2i 1, 0, , 1,...,2 1Cn+ i+Cn+ j= ij= n+ .В частности, если i=2n+1, то2 12n1, 0, 1,...,2Cn+ j j n+ = = .Для вычисления тензора Риччи римановой субмерсии ƒ:GM=G/F0 ис-пользуются следующие инварианты: A и T на G [4], значения которых на вектор-ных полях P1 и P2 задаются формуламиTP1P2= ƒƒP1ƒP2+ ƒƒP1ƒP2 , AP1P2=ƒƒP1ƒP2+ƒƒP1ƒP2 .Найдем их выражения в нашем случае.Инвариант T. Из формулы TP1P2= ƒƒP1ƒP2+ ƒƒP1ƒP2 [4] мы видим, что0, 0, 0 X X T Y T Tƒ= ƒ= ƒ= ,где X, Y - горизонтальные поля, а ƒ - вертикальное поле. Последнее вытекает изсвойства ƒƒ = 0 . Поэтому единственная ненулевая компонента тензора T можетбыть только в случае T X ƒ .Из свойства K-контактности имеем 1 ( )Xƒ = 2 ϕ X . Далее, ƒX −Xƒ=[ƒ,X] .Поэтому [ , ] 1 ( ) [ , ]2 X X X X X ƒ  =  ƒ + ƒ = ϕ + ƒ . ТогдаTƒX = ƒ[ƒ,X].Для выбранного базиса получаем2 12 1[ 2 1, ] 2 1, 2 1 0, 1,...,2 nnTE Ej En Ej Cn jEn j n ++= ƒ + = + + = = .Инвариант A. Из формулы AP1P2=ƒƒP1ƒP2+ƒƒP1ƒP2 [4] видно, чтоA X 0, A 0 ƒ = ƒƒ= .Из свойства K-контактности имеем 1 ( )Xƒ = 2 ϕ X . Поэтому1 ( )AX ƒ = ƒX ƒ = 2 ϕ X .В случае двух горизонтальных векторных полей получаемAXY= ƒXY.В базисе {Ei}, i=1,...,2n, имеем2 12 1, , 1,...,2 i inAEEj EEj ij +En ij n= ƒ = ƒ + = . (1)Окончательно получаем следующие ненулевые компоненты тензора A:2 1 2 1,2 1, 1 , , , 1,...,22n n s sAij + ij + Ai n i ij s n= ƒ + = ϕ = .Найдем тензор Риччи для нашего случая римановой субмерсии. При вычисле-ниях будем использовать, что слои римановой субмерсии являются геодезически-ми линиями. Поэтому вектор средней кривизны слоев N, определяемый какN=Tƒƒ, равен нулю.Теорема 1. Если левоинвариантная контактная метрическая структура (ƒ, ƒ,ƒ, g) на группе Ли G2n+1 является K-контактной, то в ортонормированном базисеE1,…,E2n+1, первые 2n векторов которого лежат в контактном распределении D,а вектор E2n+1 есть поле Риба ƒ, тензор Риччи Ric имеет следующую структуру:2 1,2 1, 1 , , 1,...,2 ,n n 2 ij Mij 2ijRic + + =n Ric =Ric − ƒ i j = n22 1 2 1,2 1, 11 (2 ( ) ), 1,...,2 ,4nj n s i j ni n sj si ji sj si jsj sRic C C + C C C C + i n+== − ƒ + + + =где RicM - тензор Риччи фактор-пространства M =G/F0 .Доказательство. Найдем выражения всех компонент тензора Риччи Ric(ƒ,ƒ) ,Ric(ƒ,X) и Ric(X,Y) прямыми вычислениями. Как всегда, символами X, Y мыобозначаем горизонтальные векторы.Вычисление Ric(ƒ,ƒ) . Поскольку для K-контактных структур кривизна Риччив направлении ƒ равна2n , то ( , )2Ric ƒ ƒ = n .Вычисление Ric(X,Y). Поскольку N = 0 , то выражение кривизны Риччи [4]( , ) ( , ) 2( , ) ( , ) 1(( , ) ( , ))Ric X Y =RicMX Y − AXAY − TX TY + 2 X N Y + Y N Xпринимает видRic(X,Y)=RicM(X,Y)−2(AX,AY)−(TX,TY).Найдем компоненты (AX,AY) и (TX,TY) для базисных векторов.( , ) ( , ) 1( ( ), ( )) 1( , )AEiAEj =AEiƒAEjƒ =4ϕEi ϕEj =4EiEj .2 1 2 1( , ) ( [ , ], [ , ]) ,2n 1 ,n2 1TEi TEj Ei Ej Ci n+ Cj +n= ƒ ƒВычисление Ric(X,ƒ). В базисе {Ei}, i=1,...,2n+1, формула [4]Ric(X,ƒ)=((ƒˆЕ)ƒ,X)+(ƒN,X)−((ƒA)X,ƒ)−2(AX,Tƒ)

Скачать электронную версию публикации