Aneurism formation in capillaries.pdf Состояние микроциркуляции является наиболее наглядным показателем дляоценки существующих изменений сосудистого русла при сахарном диабете [1].Одним из самых тяжелых офтальмологических проявлений сахарного диабета яв-ляется поражение сетчатой оболочки глаза - диабетическая ретинопатия, первыми наиболее характерным патоморфологическим признаком которой являются ме-шотчатые образования - микроаневризмы. При длительном течении сахарногодиабета их количество увеличивается, а величина колеблется от 20 до 200 мкм [2].Стенки капилляров состоят из эластина, коллагеновые волокна отсутствуют. Всилу однородности эластиновых стенок капилляра возможен упрощенный подходк прочности капилляра по отношению к избыточному давлению в нём.Задача по расчёту напряжений в толстостенной трубе относится к разрядуклассических: задача Ламе - Гадолина. В этой задаче рассматривается зависи-мость механических напряжений от давлений внутри и вне трубы. Нас же интере-сует зависимость диаметра цилиндрического сосуда от избыточного давления внём. В теории сопротивления материалов очень редко интересуются большимидеформациями, так как основные конструкционные материалы (металлы и спла-вы) работают в области малых относительных деформаций, не превышающих 1%.В данной работе рассмотрены большие деформации цилиндра и сферы. Оце-нивается тенденция развития процесса с ростом внутреннего давления в системе.Выделена критическая величина давления. Показано, что при приближении дав-ления к указанной величине процесс развития деформаций принимает катастро-фический характер. Сделаны оценки давления и прочностных параметров сосуда,при которых деформации стремительно нарастают, приводя к разрыву стеноксосуда.Допущения и предпосылкиМатериал подчиняется закону Гука, коэффициент Пуассона равен 0.5 (матери-ал несжимаем). Несмотря на кажущуюся натянутость последнего допущения, за-метим, что для резины (высокоэластичный полимер) коэффициент Пуассона ра-вен 0,48, что весьма близко к 0,5.Как известно (задача Ламе - Гадолина) [3], связь между параметрами толсто-стенного цилиндра и давлением записывается как( 2 2)223dp E b adb ba= − , (1)где E - модуль Юнга, a - внутренний диаметр цилиндра (сосуда), b - внешний,p - трансмуральное давление (превышение внутреннего давления над внешним).В силу несжимаемости площадь поперечного сечения стенок сосуда будет по-стоянной2 2 2 2b −a =b0−a0S0, (2)где b0 и a0 - внешний и внутренний диаметры сосуда при исходном давлении p0.Используя соотношение (2), исключим внутренний диаметр сосуда из диффе-ренциального уравнения (1):( ) ( )2 2 02 202 23 3dp E b a ESdb ba b b S= − =−. (3)Решая уравнение (3) относительно p, получим( 2 ) 20 02 20ln3p E b S bb a⎛ − ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠. (4)Разрешая (4) относительно b2, имеем202 2 00 20011 exp3abb ba pb E⎛ ⎞−⎜ ⎟= ⎝ ⎠−⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠. (5)Из этой формулы видно, что знаменатель обращается в нуль при002 lncr 3p E ba⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠, (6)что означает неограниченный рост внешнего диаметра (следовательно, и внут-реннего) при приближении давления к критическому значению pcr.Учитывая условие несжимаемости (2), для внутреннего диаметра сосуда a,имеем( ) ( )( ) ( )( ) 02 22 2 0 0 22 00 0 01 /exp 3 / exp 3 /1 / exp3 /a a p E a b b a p Ea b p E b− ⎛ ⎞= =⎜ ⎟− ⎝ ⎠. (7)Толщина стенок сосуда h = b - a легко получается из выражений (5) и (7):( )( ) ( )( )( )20 0 00 20 0 0001 /1 exp3 /21 / exp3 /1 exp3 /2 .a b ah b a b p Ea b p E bab p Eb− ⎛ ⎞= − = ⎜ − ⎟=− ⎝ ⎠⎛ ⎞= ⎜ − ⎟⎝ ⎠(8)Результаты (5), (7), (8) удобно представить в безразмерном виде. Для этоговведём пять безразмерных обозначений00 0 00 0 0, , , / , . 1; 1b a a h h pb b b Eƒ = ƒ = ƒ = ƒ = ƒ = ƒ > ƒ 1; ƒ0 < 1.С учетом безразмерных обозначений, относительные диаметры и толщиныстенок запишутся как( ( ))22 02011 exp3/2− ƒƒ =− ƒ ƒ; (10)( ( ))( )22 0 22 001exp 31 exp3/2− ƒƒ = ƒ ƒ− ƒ ƒ, ƒ = ƒƒ0 exp(3ƒ / 2); (11)( )( )( )( )0 00 00 01 1 exp(/2)/ ( )/(1 )1 1 exp(/2)h h+ ƒ − ƒ ƒƒ = = ƒ − ƒ − ƒ =− ƒ + ƒ ƒ. (12)В этом случае безразмерное критическое давление (для цилиндра) равно( ) 02 ln 1/ƒcr=3 ƒ. (13)Заметим, что величины ƒ, ƒ, ƒ при ƒ = 0 обращаются в единицу, есть имеет ме-сто нормальное состояние сосуда при отсутствии избыточного давления.Решение для сферы при тех же предположениях, что и для цилиндра.Как известно, связь между параметрами толстостенного цилиндра и давлениемзаписывается как( 3 3)343dp E b adb ba= − . (14)В силу несжимаемости площадь поперечного сечения стенок сферы будет по-стоянной:3 3 3 3b −a =b0−a0V0. (15)Применяя аналогичный подход, что и для цилиндра, получим( 3 ) 30 03 304 ln9p E b V bb a⎛ − ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠. (16)Разрешая (4) относительно b2, имеем( )3 33 3 0 000 01 1 exp 3 / 4b b a a p Eb b⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤= ⎢ −⎜ ⎟ ⎥ ⎢ −⎜ ⎟ ⎥⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦. (17)Из этой формулы видно, что знаменатель обращается в нуль при004 lncr 3p E ba⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠. (18)Критическое давление для сферы в два раза больше, чем для цилиндра, что по-казывает, что сфера в два раза крепче цилиндра при тех же конструкционных ха-рактеристиках.Учитывая условие несжимаемости (15), для внутреннего диаметра сосуда aполучим( ) ( )( )3 33 0 3 0 00 30 001 /exp 3 / 41 exp3 /4a a ba p E bb a p Eb⎛ ⎞ −=⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠. (19)Толщина стенок сосуда h = b - a легко получается из выражений (17) и (19)0 ( )01 exp3 /4ah b a b p Eb⎛ ⎞= − = ⎜ − ⎟⎝ ⎠. (20)С учетом безразмерных обозначений (9), относительные диаметры и толщиныстенок запишутся как( ( ))33 03011 exp3/4− ƒƒ =− ƒ ƒ; (21)ƒ = ƒƒ0 exp(3ƒ / 4); (22)ƒ =h/h0=(ƒ − ƒ)/(1− ƒ0)= ƒ(1− ƒ0exp(3ƒ/4))/(1− ƒ0). (23)В этом случае безразмерное критическое давление (для сферы)( ) 04 ln 1/ƒcr=3 ƒ. (24)Приведём графики зависимости относительного внешнего диаметра ƒ и отно-сительной толщины стенок ƒ от величины относительного давления ƒ для цилин-дра и сферы.Обе диаграммы приведены для значения начального относительного диаметраƒ0 = 0,75. На каждой диаграмме приведено два графика: сплошной линией показа-ны внешние диаметры цилиндра или сферы, треугольничками - толщина стенок,отложенная по правой вспомогательной шкале. При приближении к критическомудавлению видно, что диаметр резко возрастает, а толщина стенок стремится к ну-лю. Причём скорость убывания толщины стенок в зависимости от диаметра го-раздо больше для сферы, чем для цилиндра, что очевидно из геометрических со-ображений.Реальная картина появления аневризмы в капилляре выглядит так: на одном изучастков стенки капилляра вследствие биохимических процессов появляется пят-но с ослабленными упругими характеристиками ( модуль Юнга E уменьшается, абезразмерное давление ƒ = p/E возрастает). Это приводит к локальному выпячива-нию стенки и, следовательно, к уменьшению её толщины. С развитием процессатолщина стенки всё более уменьшается (см. диаграмму), и при приближении ккритическому давлению происходит катастрофическое уменьшение толщиныстенки при быстром увеличении диаметра аневризмы с неизбежным прорывом.109876543210Стенка сферыСфера1,21,00,80,60,40,20Относительное давление0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,543210Относительные размерыОтносительная толщинаДля количественных оценок воспользуемся значениями для эндотелия, взяты-ми из работы [4]:- модуль Юнга E ≈ 3*105 Па ≈ 2300 Торр;- начальное давление p0 ≈ 103 Па ≈ 10~20 Торр.На повреждённом участке сосуда модуль Юнга существенно меньше, чем наздоровом и величина ƒ0 возрастает в 10 раз, что ведет к аневризме при меньшемдавлении.Стенка сферыСтенка цилиндраСфераЦилиндр1,21,00,80,60,40,20,0Относительное давление0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6Относительная толщинаОтносительные размеры109876543210

Скачать электронную версию публикации