Numerical solution of Saint-Venant's problem about torsion of a shaft with two-connected domain section by the method of conformal mapping.pdf В математической теории упругости важное место занимает классическая за-дача Сен-Венана о кручении стержня. При существовании большого числа мето-дов её решения [1 - 7 и др.], учитывающих те или иные особенности геометрииобласти сечения стержня, проблема решения этой задачи с высокой точностьюдля сечений произвольной формы остаётся актуальной, особенно для неодно-связных областей сечений. Имеются точные и приближённые решения лишь не-большого количества частных задач: рассматривались двусвязные сечения в фор-ме кругового кольца, эксцентричного кругового кольца [2], области, ограничен-ной двумя конфокальными эллипсами [1], с небольшой постоянной толщинойстенок [3], в форме «ящиков» [6] и др.В последние десятилетия в разных странах предпринимались исследования за-дач кручения численными и численно-аналитическими методами для случаев не-односвязных сечений специального вида: полого толстостенного цилиндра скольцевой поперечной выточкой полукруглого профиля на внешней поверхности[8]; труб произвольного профиля поперечного сечения с постоянной толщинойстенки [9]; цилиндра с толстыми стенками [10] (МКЭ); с многосвязным попереч-ным сечением, когда толщина стенки стремится к нулю [11].Случай многосвязного сечения стержня осложняется тем, что в соответ-ствующей краевой задаче Дирихле имеются неизвестные заранее параметры, чис-ло которых определяется порядком связности области n и равно n −1. Выбор па-раметров должен быть подчинён известному условию Прандтля [4]. В моногра-фии [6] описан численный метод определения неизвестных параметров, основан-ный на сведении задачи к решению системы из n −1 линейных алгебраическихуравнений. При этом элементы матрицы соответствующей СЛАУ предлагаетсявычислять как контурные интегралы по связным граничным компонентам облас-ти от частных производных функций, являющихся решениями n −1 краевых за-дач Дирихле для уравнений Лапласа или Пуассона с краевыми условиями специ-ального вида. Реализация такого метода для случая произвольной области пред-ставляется трудно осуществимой на практике. Неслучайно в литературе не встре-чается численных примеров такого решения для стержня произвольного сечения- без каких-либо упрощающих допущений - даже в простейшем случае n = 2.В данной работе предложен новый метод нахождения неопределённого пара-метра краевой задачи и её решения для двусвязной области произвольной формы.Метод основан на редукции краевой задачи Дирихле к задаче в круговом кольце спомощью конформного отображения. Неопределённый параметр при этом легкоопределяется согласно условию Прандтля по краевым данным редуцированнойзадачи.Метод конформного отображения (МКО), в своё время привлёкший к себевнимание исследователей, хотя и привёл к целому ряду решений краевых задачдля областей специального вида, однако не получил широкого применения к ре-шению задачи Сен-Венана о кручении стержня по причине сложности построениянеобходимых отображений на канонические области в явной форме для областейсколько-нибудь сложной формы. Например, для односвязной области полиго-нальной формы аналитическая функция, отображающая область на круг или по-луплоскость, выражается в виде интеграла Шварца - Кристоффеля [12], завися-щего от ряда неизвестных параметров, вычисление которых представляет значи-тельные трудности. Для случая многосвязной области сечения эти трудности мно-гократно усиливаются [13]. В недавней работе [14] для функции, отображающейкруг на круговой многоугольник, обладающий n-кратной симметрией вращения, сиспользованием производной Шварца дано явное представление через гипергео-метрическую функцию и на этой основе получено решение задачи о кручениистержня с указанным поперечным сечением. Другие методы построения кон-формных отображений без привлечения теории Шварца - Кристоффеля, в частно-сти, итеративные методы отображения, основанные на идее минимизации длиныграницы образа отображаемой области [15, 16], также не нашли ранее широкогоприменения из-за отсутствия универсальных программ для численного отображе-ния области произвольной формы на канонические области (круг для случая од-носвязной области сечения стержня или круговое кольцо для случая двусвязнойобласти). Однако появление новых и развитие ранее известных численных мето-дов конформных отображений в сочетании с использованием быстродейству-ющих современных компьютеров делают это направление, ныне незаслуженнозабытое, достаточно привлекательным при создании алгоритмов и программ какдля решения общих краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона, так и дляспециализированных алгоритмов, рассчитанных на решение задач кручениястержней.Достоинства МКО перед другими, например сеточными и вариационными ме-тодами, методами интегральных уравнений и восходящими к ним МКЭ, МГЭ,МКГЭ и др., заключаются, в частности, в возможности строить высокоточныерешения краевых задач без потери точности по мере удаления от границы внутрьобласти. Дополнительным резервом повышения точности служит использованиеитеративных процедур в МКО, что позволяет привлекать для описания геометрииграницы области и граничных условий задачи больший объём информации, чем,например, в МГЭ [17]. Причинами тому два обстоятельства: 1) свойство симмет-рии матриц СЛАУ, возникающих в используемом нами варианте построения кон-формного отображения [18], и, благодаря этому, экономия значительных объёмовмашинной «памяти»; 2) количество неизвестных в МКО определяется не числомm граничных узлов интерполяции, как в МГЭ, а гораздо более низким по сравне-нию с m порядком многочленов, аппроксимирующих отображающие аналитиче-ские функции. Что касается количества m граничных узлов, то в нашем методеоно практически не лимитируется.Результаты численных экспериментов с применением разработанных компью-терных программ, реализующих описанный ниже метод, подтверждают ожидае-мые предположения о его достаточной эффективности и точности.1. Постановка задачиРассматривается классическая задача Сен-Венана о кручении (однородного,изотропного, упругого) полого прямого призматического или цилиндрическогостержня, скручиваемого моментами силы Мt, приложенными к концам стержня [6,9, 16]. Пусть поперечное сечение однородного по всей длине стержня представля-ет собой ограниченную двусвязную область B в плоскости комплексного пере-менного ƒ = x + iy , Г+ и ƒ− - соответственно внешняя и внутренняя граничныекомпоненты области В, являющиеся замкнутыми кусочно-гладкими жордановымикривыми без точек возврата. Положительным направлением обхода каждого изконтуров Г+ и ƒ− считается такое, при котором внутренние точки области В,примыкающие к её границе, остаются слева (т.е. против часовой стрелки на Г+ ипо часовой - на ƒ− ). Влиянием собственного веса стержня пренебрегаем. Попе-речные размеры стержня считаются малыми в сравнении с его протяжением l восевом направлении. За ось стержня принимается линия, соединяющая центрытяжести всех поперечных сечений. На торце z = 0 стержень закреплён от поворо-та. Иллюстрация к постановке задачи приведена на рис. 1.ƒ−BMtxyMtƒ+Ol izРис. 1. Иллюстрация к постановке задачиРешение задачи Сен-Венана сводится к определению гармонической в областиВ функции ƒ(ƒ), принимающей на границе ƒ = ƒ+ ƒ−значенияƒ+ h( ) ƒ = ƒ; (1)ƒ− h( ) C ƒ = ƒ +, (2)где h(ƒ) = ƒ 2 / 2 . Постоянная С должна быть выбрана так, чтобы выполнялосьусловие Прандтля [4]dl 2 S( )−−ƒ

Скачать электронную версию публикации