Acceleration of the line-by-line recurrent method in Krylov subspaces.pdf Несмотря на бурный рост вычислительной техники и теоретические достиже-ния в области решения систем линейных алгебраических уравнений [3], возни-кающих при моделировании многомерных явлений математической физики, про-блема создания и развития быстродействующих алгоритмов не теряет своей акту-альности. Происходит это потому, что с усложнением поставленных задач возрас-тают и требования к точности и надежности методов решения.Современные методы решения задач математической физики зачастую сводят-ся к разностной аппроксимации многомерных дифференциальных уравнений [4],что, в свою очередь, приводит к построению системы линейных алгебраическихуравнений (СЛАУ), матрица которой имеет большую размерность и разреженно-упорядоченную структуру. Для многомерных эллиптических по пространству за-дач до сих пор не удалось разработать прямой, экономичный, устойчивый кошибкам округления метод, способный решать СЛАУ с линейной трудоемкостьюотносительно числа неизвестных, наподобие того, как это было сделано для од-номерного случая. В настоящее время наиболее перспективными можно считатьте направления разработки новых методов решения СЛАУ, в которых на уровнеалгоритма учитывается фундаментальное свойство краевых эллиптических задачобязательной чувствительности решения в каждой точке области определения за-дачи возмущения в любой иной, включая граничную, точке. Такая чувствитель-ность обеспечивается современными градиентными методами [3, 5], но не напря-мую от точки к точке, а опосредованно, через коэффициенты, полученные приминимизации норм соответствующих функционалов. Однако непосредственноградиентные методы не характеризуются высокими скоростями сходимости, и дляих ускорения используются предобуславливатели, которые строятся, как правило,на основе известных релаксационных методов [3]. При этом, чем более эффекти-вен исходный релаксационный метод, тем более эффективным получается соче-тание соответствующего предобуславливателя с градиентным методом. Напри-мер, использование в методе бисопряженных градиентов со стабилизацией предо-буславливателя на базе явного метода Булеева позволяет реализовать более высо-кие скорости сходимости решения по сравнению с предобуславливателем на баземетода Гаусса - Зейделя [2, 6].Постановка задачиПусть имеет место двумерная по пространству краевая задача в единичной об-ласти {( , ): 0 1, ƒ = x y ≤ x ≤ 0 ≤ y ≤ 1} . Внутри области ƒ поведение искомой функ-ции Ф(x,y) описывается дифференциальным уравнениемU V x y S,x y x x y yƒ+ ƒ= ⎛⎜⎝ƒ ƒ⎞⎟⎠+ ⎛⎜⎝ƒ ƒ⎞⎟⎠+(1)где U, V - компоненты скорости, ƒx , ƒy - коэффициенты переноса, S - источник.На границе области Г имеют место условия первого родаƒ |ƒ = ϕ. (2)Здесь U, V, ƒx , ƒy - непрерывные дифференцируемые функции внутри и на гра-нице ƒ, причем ƒx>0,ƒy>0 ; ϕ - непрерывная функция, определенная на грани-це ƒ. Выбирая произвольные выражения для функций Ф, U, V, ƒx , ƒy , можновсегда, путем вычисления источника S из (1) и определения ϕ из (2) по значениямФ на границе ƒ, сформулировать необходимую для тестирования численного ме-тода задачу. В настоящей работе рассматриваются две такие тестовые задачи.Задача 1. Решение и коэффициенты задаются в виде следующих зависимостей:( ) [ ( )( )]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )22 22 2, 256 1 1 ; 0;, 1 2 0,5 0,5 ,, 1 2 0,5 0,5 0,5 ,xyx y xy x y U Vx y x yx y x yƒ = − − = =ƒ = + ⎡⎣ − + − ⎤⎦ƒ = + ⎡⎣ − − − − ⎤⎦(3)а на границе ƒ |ƒ = 0 .Задача 2. Решение и коэффициенты задаются в виде следующих зависимостей:( )( ) ( )2 222 2 2 3 2, exp( 10 )cos(8 );, , exp( 5 );; ( , ) /(1 );x yx y l lx y x y ll x y V xy y xƒ = − ƒƒ =ƒ = −= + = +(4)на левой границе U(0,y) = 0, а внутри области ƒ и на оставшихся границах U(x,y)рассчитывается из соотношения U V 0.x y + = На границе ƒ решение Ф опреде-ляется из соотношения (4) при соответствующем выборе l: l(0,y) = y2, l(1,y) = 1+y2,l(x,0) = x2, l(x, 1) = 1+x2.Системы линейных алгебраических уравнений вида AФ = b получаются путемразностной аппроксимации задач (3) и (4) методом контрольного объема (вариантэкспоненциальной схемы) [7] на равномерной сетке, покрывающей расчетную об-ласть ƒ. В качестве зависимости коэффициентов схемы от сеточного числа ПеклеPh используется рекомендованная С. Патанкаром функция f (Ph) = max (0,(1−−0,1Ph)5). Как отмечается в [7], получаемая при этом разностная схемаPij ij Eij i1j Wij i1j Nij ij 1 Sij ij 1 ijaƒ =a ƒ+ +a ƒ− +a ƒ + +aƒ − +b, (5)консервативна и имеет второй порядок аппроксимации. Причем в данном случаеaP =aE+aW+aS+aN, поскольку уравнение (1) стационарно и источник S не за-висит явным образом от Ф. Здесь 1

Скачать электронную версию публикации