On radicals in the category of modules over a csp-ring.pdf Исторически понятие радикала восходит к работам Ф.Э. Молина, Э.Ж. Карта-на, Ф.Г. Фробениуса и Дж.Г.М. Веддербёрна, выполненным на рубеже XIX и XXвеков (подробнее о вкладе каждого из этих математиков см. [1, 2]). В 1960-е годыпонятие радикала было распространено на категории модулей (см. [3]).Данная статья является продолжением работы [4], в которой было полученополное описание радикалов в категории модулей над csp-кольцом и образуемойэтими радикалами решётки. Напомним основные определения и результаты (всеостальные договорённости и свойства можно найти в [3, 4]).Пусть S - кольцо и пусть каждому модулю AS из категории S-модулей mod-Sсопоставлен однозначно определённый подмодуль ƒ(A). Будем говорить, что ƒ -идемпотентный радикал в mod-S, если для всякого S-модульного гомоморфизмаϕ: A  B выполнено ϕ(ƒ(A))  ƒ(B) и справедливы следующие свойства:1) ƒ(ƒ(A)) = ƒ(A) для любого S-модуля A;2) ƒ(A/ƒ(A)) = 0 для любого S-модуля A.Для идемпотентного радикала (в дальнейшем слово «идемпотентный» частобудет опускаться) ƒ, заданного в mod-S, назовём ƒ-радикальным класс R(ƒ) всехмодулей A, для которых выполнено ƒ(A) = A. Всякий радикальный класс замкнутотносительно гомоморфных образов, расширений и прямых сумм. Заметим, чтоидемпотентный радикал ƒ однозначно определяется своим радикальным классом.Радикалы можно естественным образом частично упорядочить, условившись, чтоƒ ≤ ƒ тогда и только тогда, когда R(ƒ)  R(ƒ). Относительно указанного порядкасовокупность всех идемпотентных радикалов категории mod-S образует полнуюбольшую решётку.Через Z и Zˆ p обозначим соответственно кольцо целых чисел и кольцо целыхp-адических чисел. Далее, введём обозначения ˆQp , Z( p) и Z( p ) соответственнодля поля p-адических чисел, циклической группы порядка p и квазициклическойp-группы (все они естественным образом могут рассматриваться как p-адическиемодули). Символом  будет обозначаться конец доказательства (либо отсутствиедоказательства).Для левого модуля SF класс, определяемый условием T(F ) = {AS | A ⊗S F = 0},обладает всеми свойствами замкнутости, которые необходимы для радикальногокласса. Соответствующий такому классу идемпотентный радикал будем называтьT-радикалом, порождённым модулем F.Через t(A) обозначим периодическую часть p-адического модуля A.Теорема 1 [4]. Если S = Zˆ p , то в mod-S существует ровно шесть радикальныхклассов:Rn = {0},Rm - класс всех периодических делимых S-модулей,Rl - класс всех периодических S-модулей,Rƒ - класс всех делимых S-модулей,Rƒ = {AS | A/t(A) - делимый S-модуль},Rƒ - класс всех S-модулей.Каждый из этих шести радикальных классов имеет вид T(F ), где F совпадает содним из модулей Fn = S, Fm=Qˆp⊕Z(p), ˆFl= Qp, Fƒ = Z( p), Fƒ = Z( p ), Fƒ = 0соответственно. Из теоремы 1 получаем, что решётка всех радикалов категории p-адическихмодулей изоморфна решётке M = {l, m, n, ƒ, ƒ, ƒ}, где n < m < l < ƒ < ƒ и m < ƒ < ƒ,а элементы l и ƒ считаются несравнимыми.Предложение 2 [4]. Если S является полем либо совпадает с кольцом вычетовпо модулю pk (где k > 0), то в mod-S есть ровно два радикальных класса: нулевойкласс {0} и класс всех S-модулей. Таким образом, решётку всех радикалов категории модулей над полем либокольцом вычетов по модулю pk можно отождествить с двухэлементной цепью{n, ƒ}. Ясно также, что оба указанных радикальных класса можно представить ввиде T(F ); достаточно положить F равным модулю Fn = S или Fƒ = 0.Пусть P - некоторое бесконечное множество простых чисел. Допустим также,что для каждого p  P выбрано кольцо Kp , которое может совпадать либо с ˆ Zp ,либо с некоторым кольцом вычетов по модулю pk (для разных простых p число kможет быть разным). Через K обозначим прямое произведение колец Kp по всемпростым p  P. Далее, пусть I есть идеал кольца K, состоящий из всех элементовкольца, для которых почти все p-координаты равны нулю. Подкольцо S кольца Kназовём csp-кольцом, если I  S, а факторкольцо K0 = S/I является полем.Пусть ep - это элемент идеала I, у которого на p-м месте находится единичныйэлемент кольца Kp , а на всех остальных местах - нули. Для модуля AS обозначимAp = Aep и A0 = A/AI. Если X - это конечное подмножество множества P, то суммувсех идемпотентов ep , таких, что p  X, назовём идемпотентом конечного типас носителем X (для таких идемпотентов будем использовать обозначение ƒ). Приэтом считаем, что ƒ = 0 - идемпотент с пустым носителем.Для удобства введём в рассмотрение множество P*, которое получается из Pпутём присоединения элемента 0. Далее всюду считаем, что S есть csp-кольцо.Теорема 3 [4]. Пусть R есть некоторый радикальный класс в mod-S. Модуль ASсодержится в R тогда и только тогда, когда Ap  R при всех p  P*. Ясно, что идеал Sp кольца S можно отождествить с кольцом Kp . Поэтому прилюбом p  P* можно рассматривать Ap как модуль не только над S, но и над Kp .Обратно, всякий Kp-модуль можно естественным образом превратить в S-модуль.Это даёт возможность для всякого радикала ƒ категории mod-S рассмотреть классKp-модулей, задаваемый условием Rp = R(ƒ)  mod-Kp . Каждый такой класс будетрадикальным в категории mod-Kp ; соответствующий ему радикал этой категорииобозначим через ƒp (здесь p  P*).Из теоремы 3 следует, что радикал ƒ категории mod-S однозначно определёнрадикалами ƒp , где p  P*. С другой стороны, как показано в работе [4], если длякаждого p  P* задан некоторый радикал категории mod-Kp , то существует такойрадикал ƒ категории mod-S, что набор {ƒp}pP* в точности совпадает с исходнымнабором радикалов. Из теоремы 1 и предложения 2 получаем, что решётка всехрадикалов категории mod-Kp имеет вид, если ˆ ;{ , }, если 0 или ˆ .p ppp pM KMn p K= ⎧⎪⎨ =⎪⎩ ƒ = ZZОтсюда получается следующее утверждение.Теорема 4 [4]. Решётка идемпотентных радикалов категории модулей mod-Sизоморфна прямому произведению решёток Mp , где p пробегает множество P*. Указанное прямое произведение решёток далее будем обозначать через L.Кроме того, произвольный радикал ƒ категории mod-S является T-радикалом.Так, для любого p  P* можно представить ƒp как T-радикал категории mod-Kp ,порождённый некоторым модулем Fp (последний можно выбрать в виде Fn , Fm ,Fl , Fƒ , Fƒ или Fƒ). Тогда ƒ - это T-радикал, порождённый S-модулем*pp PF F= ⊕. (1)Перейдём теперь к основному содержанию работы. Рассмотрим следующиевозможные свойства идемпотентного радикала ƒ категории mod-S:1') ƒ(B) = B  ƒ(A) для любого S-модуля A и B  A;2') ƒ(A/B) = (ƒ(A) + B)/B для любого S-модуля A и B  A.Идемпотентный радикал ƒ называется кручением, если для него выполненосвойство 1'). Известно [3], что радикал является кручением тогда и только тогда,когда его радикальный класс замкнут относительно подмодулей.Рассмотрим радикальные классы Rp  mod-Kp .Теорема 5. Пусть ƒ - произвольный радикал категории S-модулей. Класс R(ƒ)замкнут относительно подмодулей в том и только в том случае, когда при любомp  P класс Rp = R(ƒp) замкнут относительно Kp-подмодулей.Доказательство. Если R(ƒ) является замкнутым относительно подмодулей, тозамкнутость класса Rp относительно Kp-подмодулей непосредственно следует изравенства Rp = R(ƒ)  mod-Kp .Обратно, пусть при всех p  P класс Rp замкнут относительно Kp-подмодулей.Предположим, что A  R(ƒ), а B - некоторый подмодуль модуля A. В этом случаепо теореме 3 имеем Ap  R(ƒ)  mod-Kp = Rp . Тогда из Bp  Ap (где p  P) следуетBp  Rp  R(ƒ). Таким образом, модуль BI, который совпадает с прямой суммоймодулей Bp по всем p  P, также входит в класс R(ƒ). Рассмотрим два случая.а) Пусть R0 = mod-K0 . В этом случае из включений B/BI  R0  R(ƒ), а такжезамкнутости R(ƒ) относительно расширений следует B  R(ƒ), что и требовалось.б) Пусть R0 = {0}. Вновь применяя теорему 3, получаем, что A/AI = A0  R(ƒ);поэтому имеем включение A/AI  R(ƒ)  mod-K0 = R0 . Следовательно, модуль Aсовпадает с AI, т.е. с прямой суммой модулей Ap по всем p  P. Это означает, чтодля любого a  A найдётся идемпотент конечного типа ƒ, такой, что выполненоa = aƒ  aI. В частности, имеем B = BI и, значит, B  R(ƒ). Теорема доказана. Замечание. В [4] было показано, что для модуля F вида (1) условие A ⊗S F = 0эквивалентно тому, что при любом p  P* справедливо Ap⊗S Fp = 0 (в последнемравенстве не имеет значения, рассматривается ли тензорное произведение над Sили над кольцом Kp). Тогда при любом p  P* имеем для класса T(Fp)  mod-Kpравенство T(F )  mod-Kp = T(Fp).Теорема 6. Радикал ƒ категории модулей mod-S является кручением тогда итолько тогда, когда в решётке L ему соответствует последовательность ƒ = (ƒp),содержащая лишь элементы n, l и ƒ.Доказательство. Для всякого p  P, как нетрудно видеть, Kp-модули 0 и Kpявляются плоскими. Далее, если Kp= Zˆp, то ˆQp является плоским Kp-модулем.Как отмечалось в [5], для плоского Kp-модуля Fp класс T(Fp)  mod-Kp являетсязамкнутым относительно подмодулей. Пусть ƒ не содержит элементов, отличныхот n, l и ƒ, тогда модуль F, заданный равенством (1), обладает тем свойством, чтодля любого p  P модуль Fp  mod-Kp является плоским. С учётом теоремы 5 исделанного после неё замечания получаем, что ƒ - кручение.Обратно, пусть ƒ - кручение; допустим, что для некоторого p  P элемент ƒpпоследовательности ƒ равен m, ƒ или ƒ. Тогда ƒ - это T-радикал, порождённыймодулем F вида (1), причём Fp совпадает е лфсДоказательство. Можем считать, что ƒ(A) = AJ.а) Если идемпотентный идеал J задан условием (2), то для любого модуля Aподмодуль ƒ(A) = AJ совпадает с прямой суммой модулей Ap по всем p  X. Легкопроверить, что в этом случае равенство ƒ(A) = A выполнено тогда и только тогда,когда Ap = 0 при всех p  P* \ X. Вспоминая описание идемпотентных радикаловкатегории mod-S, получаем, что радикалу ƒ соответствует последовательность ƒ,для которой ƒp = ƒ при p  X и ƒp = n, если p  P* \ X.б) Пусть идеал J задан условием (3), тогда для любого S-модуля A выполненоƒ(A) = AJ = A(1 - ƒ). Покажем, что ƒ(A) = A тогда и только тогда, когда Ap = 0 привсех p  X (здесь X - носитель идемпотента ƒ).В самом деле, условие « Ap = 0 при всех p  X» эквивалентно равенству Aƒ = 0,из которого сразу следует A(1 - ƒ) = A. И обратно, из A(1 - ƒ) = A непосредственновытекает Aƒ = 0, что и требовалось. Рассматриваемому радикалу ƒ соответствуетпоследовательность ƒ, у которой ƒp = n для тех простых p, которые принадлежатконечному множеству X, и ƒp = ƒ, если p  P* \ X. Доказательство завершено. Напомним, что для p-адического модуля A чистым называют всякий его под-модуль B, такой, что B  At = Bt для любого целого p-адического числа t. Заметимтакже, что в этомЗамечание. Легко показать, что в категории модулей над csp-кольцом всякийподмодуль, чистый в смысле Кона, будет чистым (обратное утверждение, вообщеговоря, неверно).В статье [9] доказано, что радикальный класс всякого T-радикала категорииабелевых групп является замкнутым относительно взятия сервантных подгрупп.Поскольку в категории модулей над csp-кольцом всякий радикал представим какT-радикал, то аналог указанного результата для csp-кольца S выглядит так:Предложение 9. Радикальные классы категории mod-S являются замкнутымиотносительно чистых подмодулей.Доказательство. Как уже известно, всякий радикальный класс в mod-S имеетвид T(F ), где F задаётся равенством (1). Пусть B - некоторый чистый подмодульмодуля AS  T(F ). Последнее включение, как отмечалось перед теоремой 6, экви-валентно тому, что при всех p  P* выполнено Ap⊗S Fp = 0.а) Предположим сначала, что p = 0 или Kp Zˆp. Легко видеть, что модуль Bpвкладывается в Ap ; можно считать, что справедливо равенство Fp = 0 или Fp = Kp .В первом случае условие Bp⊗S Fp = 0 очевидно, во втором - следует из равенстваAp⊗S Fp = 0, а также того факта, что Kp-модуль Fp является плоским.б) Допустим теперь, что выполненоЗамечание. Аналог теоремы 11 для решёточной операции объединения  уже,вообще говоря, неверен. Так, если ƒ и ƒ - T-радикалы, порождённые S-модулями Iи S/I соответственно, то имеем (ƒ  ƒ)(S ) = S  I = 0 + I = ƒ(S ) + ƒ(S ).

Скачать электронную версию публикации