Contact problem for plates with rigid inclusions intersecting the boundary.pdf Данная работа относится к изучению класса задач об одностороннем контактеупругих тел, в частности к контактным задачам для упругих пластин с жесткимвключением. Исследование задач о контакте упругих тел, содержащих жесткиевключения, в настоящее время представляет огромный интерес в связи с актив-ным изучением в последние годы композитных материалов.Оказалось, что математическая постановка данного класса задач требуетпринципиально нового подхода. В ряде недавних работ [1 - 4], посвященных опи-санию и анализу контактных задач об упругих телах, содержащих жесткие вклю-чения, был предложен метод, позволяющий выписать полную систему краевыхусловий на границе жесткого включения, а также в случае контакта жестких зон.Влияние внешних сил на жесткую часть пластины описывается с помощью урав-нения и неравенства в соответствии с принципом виртуальных перемещений.Оказывается, что работа на истинных перемещениях точек тела обращается вноль, а для всех возможных перемещений имеем соответствующее неравенство.Рассмотрим односторонний контакт двух упругих пластин под действиемвнешних сил (модель Кирхгофа - Лява [5]). Пластины расположены под углом ƒдруг к другу, где (0 ]2 ƒƒ  , . В естественном состоянии пластины контактируютпо прямолинейной незамкнутой кривой ненулевой меры ƒ. Такая задача исследо-валась в работах [6 - 8]. Особенностью данной работы является то, что каждая изпластин содержит жесткое включение, выходящее на область возможного контак-та, и, таким образом, выполняется принцип виртуальных перемещений. Кроме то-го, предполагаем, что жесткое включение в верхней пластине выходит на её гра-ницу.Рис. 1. Контакт пластин,жесткие включения выходят на границу1. Постановка задачиПусть заданы ограниченные области ƒ,GR2 с гладкими границами ƒ и G,соответствующие срединным плоскостям контактирующих пластин. Пустьƒ  G, ƒ  ƒ = ∅ и ƒ0 =(G)\ƒ , тогда G = ƒƒ0 . При этом нижняя пластина Gдеформируется в своей плоскости, а точки верхней (горизонтальной) пластины ƒдопускают перемещение только в вертикальном направлении. Обозначимq = (q1,q2) - вектор внешней нормали к границе ƒ, ν = (ƒ1,ƒ2) - вектор нормали к ƒ,расположенный в плоскости верхней пластины ƒ, n = (n1,n2) - единичный векторвнутренней нормали к G, расположенный в плоскости нижней пластины G. Кро-ме того, qw ww wƒ q= , = .ƒ  Пусть также g=(g1,g2), gi L2(G), i=1,2; fL2(ƒ) -заданные функции, описывающие действие внешних сил.Разобьем область возможного контакта пластин на три части: ƒ = ƒ1 ƒ2 ƒ3.Каждая из пластин содержит жесткое включение (рис. 1). Для верхней пластиныжесткое включение - это подобласть ƒ1 с гладкой границей ƒ1= ƒ2 ƒ3 ƒ1,выходящая на внешнюю границу ƒ. При этом ƒ \ ƒ1 соответствует упругой частипластины. Для описания перемещения точек области ƒ1 введем пространство же-стких перемещений:L(ƒ1)={l|l(x)=a0+a1x1 +a2x2,ai =const,i=0,1,2;x=(x1,x2)ƒ1}. (1)Таким образом, перемещения точек жесткого включения представляют собойэлементы пространства аффинных непрерывных функций. Будем предполагать,что на ƒ выполнено условие жесткого защемления пластин, тогда перемещенияподобласти ƒ1 жесткого включения l0  0.Жесткое включение в нижней пластине - подобласть ƒ2  G с границейƒ2= ƒ2 ƒ0, где ƒ0 является кривой класса С0,1. Таким образом, G\ƒ2 соответ-ствует упругой части пластины. С целью описать перемещение точек области ƒ2введем пространство инфинитезимальных жестких перемещений:R(ƒ2)={ƒ =(ƒ1,ƒ2)|ƒ(x)= Cx+ D, xƒ2},где 0 (1 2) где 1 2 const0 cC D d d c d dc=⎛⎜⎝− ⎞⎟⎠, = , , , , = .Будем рассматривать пространство 01 2Hƒ (G)H0(ƒ), где01 1 2Hƒ (G)={u[H (G)] |u=0на ƒ0},2 20( ) { ( )| 0на } w H wH wqƒ =  ƒ = = ƒ .Введем 1 2 Kƒ ,ƒ - множество допустимых перемещений:1 2 01 2Kƒ ,ƒ ={(u,w)Hƒ (G)H0(ƒ)|unsinƒ+w≥0 на ƒ1,un≥0 наƒ2ƒ3;w|ƒ1=0,u|ƒ2R(ƒ2)}.Введем обозначения для изгибающего момента и перерезывающей силы верх-ней пластины:2 22 2 1 2 2 1 m(w) w (1 )wt (w) ( w (1 )w) s (s s ) ( ),s ƒ  = ς + − ς , = + − ς , = , = −ƒ , ƒƒ ƒ 

Скачать электронную версию публикации