Рассматривается представление кольца эндоморфизмов вполне разложимой абелевой группы без кручения кольцом матриц. На языке матриц описан ниль-радикал данного кольца эндоморфизмов, и доказано, что он совпадает с суммой всех его нильпотентных идеалов.
Nil radical of the endomorphism ring of a completely decomposable torsion-free abelian group.pdf Ниль-радикал колец эндоморфизмов групп без кручения изучался Крыловым[1, 2]. Им была получена характеризация ниль-радикала для групп без кручения,совпадающих со своим n-м обобщенным псевдоцоколем для некоторого нату-рального числа n (к таким группам относятся группы без кручения конечного ран-га). Крылов также указал условия нильпотентности ниль-радикала. Основные ре-зультаты в данном направлении вошли в монографию Крылова, Михалева и Ту-ганбаева [3]. В настоящей статье рассматривается ниль-радикал кольца эндомор-физмов вполне разложимой абелевой группы без кручения. С помощью представ-ления кольца эндоморфизмов такой группы кольцом матриц охарактеризован егониль-радикал и показано, что он совпадает с суммой всех его нильпотентныхидеалов.Все рассматриваемые в работе группы абелевы и не имеют кручения. Вполнеразложимая группа без кручения G является прямой суммой групп без крученияранга 1, то есть подгрупп группы рациональных чисел = ii IG A ⊕. В этой ситуациикольцо E(G) изоморфно кольцу R всех конечных по столбцам I × I матриц [ij] сэлементами ij Hom(Aj,Ai) и обычными для матриц операциями сложения иумножения. В дальнейшем, если разложение группы G зафиксировано, мы будемотождествлять кольцо E(G) с кольцом матриц R. Элементы матрицы [ij], соответ-ствующей эндоморфизму определяются следующим образом: ij = ij, где i иj - естественные проекции группы G на слагаемые Ai и Aj соответственно.Проводимые рассуждения часто требуют рассмотрения гомоморфизмов группранга 1. Приведем для удобства основные факты о таких гомоморфизмах. ПустьA, B - группы без кручения ранга 1, G - группа без кручения. Всякий ненулевойгомоморфизм : A G является мономорфизмом; ненулевой гомоморфизм: A B существует тогда и только тогда, когда t(A) ≤ t(B) (t(H) обозначает типоднородной группы без кручения H), кроме того, A ≅ B тогда и только тогда, ко-гда t(A) = t(B) . В дальнейшем эти факты используются без дополнительных пояс-нений. Теория групп без кручения ранга 1 и вполне разложимых групп без круче-ния изложена в [4].Зафиксируем разложение вполне разложимой группы G в прямую суммугрупп ранга 1: = ii IG A ⊕. Кольцо эндоморфизмов отождествляем с соответствую-щим кольцом матриц. Для элементов i, jI будем писать i ≤ j (i < j) еслиt(Ai) ≤ t(Aj) (t(Ai) < t(Aj) ).Определим подмножество (E(G)) кольца E(G). Пусть = [ij ]E(G) . Поло-жим (E(G)), если выполняются следующие два условия:1) из ij 0 следует j < i;2) существует такое натуральное число n = n(), что среди любых таких n эле-ментов 1 1 2 2 , , , i j i j … in jn матрицы , что i1 ≤ j2, i2 ≤ j3,…, in-1 ≤ jn, хотя бы одинравен нулю.Определение множества (E(G)) может, вообще говоря, зависеть от выбораразложения группы G. Мы не будем непосредственно доказывать независимостьконструкции от выбора разложения группы G, поскольку этот факт влечет ниже-следующая теорема. Нетрудно убедиться, что вне зависимости от выбранногоразложения множество (E(G)) не пусто, поскольку 0E(G) (E(G)).Заметим, что если эндоморфизм N(E(G)), то из t(Ai) = t(Aj) следует, чтоij = 0 или, в терминах кольца матриц, элемент ij матрицы [ij], соответствую-щей эндоморфизму , равен нулю. Действительно, t(Ai) = t(Aj) влечет существова-ние изоморфизма : Ai Aj, откуда в предположении, что ij 0, получаем, чтоij - ненулевой эндоморфизм группы Aj. Поскольку Aj - группа ранга 1, каж-дый ее ненулевой эндоморфизм является мономорфизмом, откуда следует, чтоэндоморфизм ij не может быть нильпотентным. Однако, если N(E(G)),то как эндоморфизм группы G ij должен быть нильпотентным.Сумму всех нильпотентных идеалов некоторого кольца K обозначим N0(K),P(K) - его первичный радикал, L(K) - его радикал Левицкого и N(K) - его ниль-радикал. Определения и основные результаты, связанные с рассматриваемымирадикалами, можно найти, например, в [5].Теорема. Пусть G - вполне разложимая группа без кручения, пусть выбраноее разложение = ii IG A ⊕в прямую сумму групп ранга 1, с помощью которого оп-ределено множество (E(G)). Тогда (E(G)) = N0(E(G)) = P(E(G)) = L(E(G)) == N(E(G)).Доказательство. Докажем сначала, что (E(G))N0(E(G)). Пусть = [ij ](E(G)) и n - натуральное число из определения множества (E(G)), тоесть среди любых таких n элементов 1 1 2 2 , , , i j i j … in jn матрицы , что i1 ≤ j2,i2 ≤ j3,…, in-1 ≤ jn, хотя бы один равен нулю. Допустим, что идеал E(G)E(G), по-рожденный матрицей , не нильпотентен. Тогда в частности (E(G)E(G))n 0.Последнее означает, что найдутся матрицы ϕ(2), ϕ(3),, ϕ(n)E(G) , такие,что = (2)(3)…(n) 0. Элемент ij есть сумма слагаемых вида ϕ ϕ ϕ . Так как матрица ненулевая, то хотя быодин ее элемент отличен от нуля. Пусть это элемент in j1 . Следовательно, хотя быодно слагаемое 1 1 1 1 2 2 2 2 1 11(2) (3) ... ( ) n n n n n n n nni j j i− i − j − j−i − i j j i i j ϕ ϕ ϕ отлично от нуля. Тогда ниодин из элементов 1 1 2 2 , , , i j i j … in jn не равен нулю. Также и ни один из элемен-тов1 1 2 21(2) , (3) ,..., ( )n n n nnj i − j − i − j iϕ ϕ ϕ не равен нулю. Поскольку1( 2)k kn kj i −ϕ − + - гомоморфизмгруппы Aik 1 − в Ajk (k = 2, 3,…, n), это влечет 1 2 t(Ai)≤t(Aj ), 2 3 t(Ai )≤t(Aj),…,1 ( ) ( ) t Ain t Ajn −≤ или, ввиду принятого соглашения, i1 ≤ j2, i2 ≤ j3,…, in-1 ≤ jn. Такимобразом, в матрице найдены n отличных от нуля элементов 1 1 2 2 , , , i j i j … in jn ,для которых i1 ≤ j2, i2 ≤ j3,…, in-1 ≤ jn. Получено противоречие. Следовательно,(E(G)E(G))n = 0.Включения N0 (E(G))P(E(G))L(E(G)) N(E(G)) известны. Остается до-казать, что N(E(G)) (E(G)). Предположим противное: пусть найдется эндо-морфизм = [ij ]N(E(G)) , не принадлежащий (E(G)) . Сделанное ранее заме-чание об эндоморфизмах из ниль-радикала позволяет утверждать, что первое ус-ловие из определения множества (E(G)) выполняется, то есть из ij 0 следуетj < i. Поэтому из предположения следует, то не выполняется второе условие. Этоозначает, что для каждого натурального числа k найдутся отличные от нуля эле-менты 1 1 2 2 , , , i j i j … ik jk матрицы , такие, что i1≤j2,i2≤j3,…,ik−1≤jk. Таккак первое условие из определения множества (E(G)) выполняется, то из того,что элементы 1 1 2 2 , , , i j i j … ik jk отличны от нуля, следует, что j1
Крылов П.А. Радикалы колец эндоморфизмов абелевых групп без кручения // Матем. сб. 1974. Т. 95(137). № 2(10). С. 214-228.
Крылов П.А. Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой группы без кручения // Абелевы группы и модули. 1994. № 11−12. С. 214-228.
Крылов П.А., Михалев А.В., Туганбаев А.А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов. М.: Факториал Пресс, 2006.
Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 2. М.: Мир, 1977.
Gardner B.J., Wiegandt R. Radical theory of rings. Marcel Dekker, 2004.
Вы можете добавить статью