A physico-mathematicalmodel of dynamics of a particle size distribution function taking into account processesof coagulation, evaporation, and sedimentation.pdf Несмотря на то, что эволюция аэрозольных облаков исследовалась уже многодесятилетий, полного понимания процессов, происходящих в жидкокапельномаэрозоле, до сих пор нет. Особенно сложными нам представляются вопросы, свя-занные с описанием кинетики субмикронных облаков: необходимо взаимосвязаноучитывать быстрое испарение капель, связанное с кривизной их поверхности,процессы осаждения и коагуляции. Предложенная в работе физико-математи-ческая модель позволяет учесть эти процессы и получить представление об изме-нении дисперсных параметров аэрозоля в зависимости от времени. Это представ-ляет не только теоретический интерес, но является важным при разработке прак-тических приложений, например в области экологии (нейтрализация вредных вы-бросов, адсорбция токсичных веществ, дезинфекция помещений).В атмосфере присутствует аэрозоль многомодальной структуры с характер-ными размерами от долей до десятков и сотен микрон [1]. В модельном аэрозоле,полученном в лабораторных условиях, распределение частиц по размерам можносчитать одномодальным и соответствующим гамма-распределениюf (D)=aDƒ exp(−bD), (1)где D - диаметр частицы, b, ƒ - параметры распределения, a - нормировочныйкоэффициент.Рассмотрим трансформацию распределения частиц по размерам с течениемвремени. Следуя [1, 2], запишем балансовое уравнение (интегральный вариантуравнения Смолуховского), описывающее изменение со временем функции рас-пределения частиц по размерам в предположении пространственной однородно-сти облака частиц:1 2 3f(D,t) I I It= + +, (2)где I1 описывает убыль капель с диаметром D за единицу времени в единице объ-ема за счет столкновения капли диаметра D с любой каплей диаметра D':I f(D,t) K(D,D)f(D,t)dD= −    , (3)где K(D,D) - вероятность столкновения капель с диаметрами D и D' в единицувремени. Примем вероятность столкновения частиц пропорциональной их мас-сам: K(D,D)=bk(D3+D3).Член I2 описывает возникновение частиц диаметра D за счет столкновения ка-пель с диаметрами D' и D−D :201 ( , )( ,)( ,)2DI = K D−D D f D t f D−D t dD .При этом сделаны следующие предположения:- облако частиц пространственно однородно;- существенными являются эффекты столкновения частиц; при этом учитыва-ются только парные столкновения (параметр «упаковки», то есть отношение объ-ема всех частиц к занимаемому им объему воздуха много меньше единицы), каж-дое столкновение приводит к слиянию частиц;- явлениями ультразвуковой, турбулентной, электростатической коагуляциипренебрегаем.Уравнение (2) описывает коагуляцию в аэрозольном облаке как твердофазных,так и жидкокапельных частиц в классической постановке с членом I3, отвечаю-щим за сток (источник) частиц. Для жидкокапельных субмикронных аэрозолейсущественным стоком в данном уравнении будет являться уменьшение массы ка-пель за счет их испарения.Учет испарения и осаждения частицУравнение Максвелла описывает скорость испарения капли за счет кривизныее поверхности и имеет видdm 2ƒDfM(pdrop ppl)dt RT−= , (4)где m - масса капли; Df - коэффициент диффузии; М - молекулярный вес жидкойкапли; R - универсальная газовая постоянная; T - абсолютная температура; pdrop иppl - парциальное давление над каплей и плоской поверхностью.Член I3 описывает уменьшение массы частиц за счет их испарения и определя-ется уравнением Максвелла, продифференцированном по массе частицы:drop pl32ƒ ( ) ( )I dmf(D) DfM p p f D .m dt m RT= ⎝⎛⎜ ⎠⎞⎟= ⎡⎢⎣ − ⎤⎥⎦Учитывая формулу Томсона (Кельвина) ( ) drop plln / 4 ,wp p MRTDƒ=ƒгде ƒ - по-верхностное натяжение; ƒw - плотность жидкости, выражая массу частицы черезее диаметр, получим3 pl4 exp 4ƒ 1 ( )f ƒ ƒw wI DMp M fDD RTD RTD ⎡ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎤= ƒ − ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎢ ⎥  ⎣ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎦Начальные условия для уравнения (2): при t = t0 f (D,t0) = f0(D) - начальноераспределение частиц по размерам, имеющее вид (1).При моделировании процессов седиментации в эволюции аэрозолей [2] обыч-но принято считать, что все частицы, масса которых превышает критическое зна-чение, сразу выпадают в осадок и не принимают участие в коагуляции. На нашвзгляд, это неточно отражает физическую картину процесса, так как никакие час-тицы не выпадают в осадок мгновенно, а нас интересует именно динамика про-цесса, в том числе время осаждения. Поэтому необходимо учитывать зависимостькритического размера от времени. Эта зависимость будет определяться с помо-щью выражения для скорости осаждения202 ƒ9ƒdh G wDdt= , (5)где h - высота расположения частицы над землей; G - ускорение свободного па-дения; ƒ0 - кинематическая вязкость. Тогда в момент времени t все капли диамет-ром больше Dкр выпадут в осадок. Величина Dкр, как следует из уравнения (5), оп-ределяется выражением 0кр92 wHDG tƒ=ƒ, где H - высота облака. Уравнение (3) пе-репишется в видекр( )10( , ) ( , ) ( , )D tI = −f D t  K D D f D t dD.Таким образом, спектр частиц на каждый момент времени t будет обрезансправа за счет седиментации крупных частиц, причем постепенно эта граница бу-дет смещаться в сторону все более малых частиц.Преобразования уравнений к безразмерным переменнымДля приведения уравнения (2) к безразмерному виду необходимо выбрать ха-рактерные масштабы: диаметр и время. В качестве характерного диаметра выбе-рем медианный: D0 = ƒ/b. В качестве характерного времени, если рассматриватьтолько жидкокапельные аэрозоли, можно взять время испарения капли диаметраD0, но для построения более общей модели, которая учитывает неиспаряемыежидкости или твердофазные аэрозоли, предпочтительнее выбрать другое харак-терное время, а именно: время осаждения частицы диаметром D0. Итак, в качествемасштаба по времени введем время жизни частицы диаметром D0 (за счет седи-ментации) 0209ƒ2 lHtGD= (дольше всего не выпадет в осадок частица диаметра D0,находящаяся в верхней точке облака на высоте H).Обозначим безразмерный диаметр как x, а безразмерное время как ƒ . ТогдаD = D0x, ƒ ƒf0(x) =a1x e− x , ƒa1=aD0, ƒltt= . Уравнение (2) в безразмерном видезапишется следующим образом:1 2 3( ,ƒ)ƒdf x I I Id= + + , при ƒ = 0 f (x,0) =f0(x); (6)I = −f x  K x x f x dx, 201 ( , ) ( ,ƒ) ( ,ƒ)2xI = K x−x x f x f x−x dx ,K(x,x)=bk(x3+x'3) , 4 2 00 09ƒk k l k 2Hb bDt bDG= = , (ƒ) 1ƒ xкр = .Все частицы, для которых x > xкр в момент ƒ, выпадут в осадок.3 pl 20 02ƒ exp 4ƒ 1 ( ,ƒ) 1ƒ ƒKu exp Tо 1 ( ,ƒ) ,fw wlI DMp M fxx RTD x RTD x tf xx x x⎡ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎤= − ⎢⎣ ⎜⎝ ⎜⎝ ⎟⎠− ⎟⎠ ⎥⎦ == −  ⎡⎢⎣⎛⎝⎜ ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟− ⎞⎠⎟ ⎤⎦⎥где безразмерный комплекс Ku, характеризующий отношение скорости испаренияк скорости седиментации, определяется как0 pl409Ku f lw eHD Mp tRT GD tƒ= =ƒ;20plƒ2wefRT DtD Mp= - время испарения плоской поверхности.Параметр, характеризующий испарение за счет кривизны поверхности,0To 4wMRTDƒ=ƒ- логарифм отношения парциального давления над каплей диамет-ром D0 к парциальному давлению над плоской поверхностью.Дифференцируя выражение для I3, получим3 2I Ku To exp To f(x,ƒ) f(x,ƒ) expTo 1x x x x x x ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎛ ⎞ ⎞⎤ = + − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎢ ⎥  ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎝ ⎠ ⎠⎦ .Введем диаметр xmin, такой, меньше которого на момент времени ƒ все каплииспарятся. Он определится из уравненияmin2minTo/ ƒKu( x 1)xe=−, которое получаетсяпутем интегрирования уравнения Максвелла (4), с учетом уравнения Томсона, вбезразмерном виде. В спектре частиц в следующий момент времени опять появят-ся капли диаметра, меньше xmin за счет испарения более крупных капель, поэтомуобрезания спектра, как справа за счет седиментации, не будет. Знание этого диа-метра поможет вычислить убыль массы капель за счет испарения. Суммарноубыль массы частиц за счет испарения и седиментации на момент времени ƒ со-ставитminкрƒ (ƒ)0 0 (ƒ)( ,ƒ) (,ƒ) ƒxxm f x dx f x dx d⎛  ⎞ƒ = ⎜ + ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠   . (7)Математическая модель в безразмерном виде (6), описывающая эволюцию аэ-розоля, имеет следующие параметры: ƒ , То, Ku, bk . Основной параметр дляжидкокапельных аэрозолей, определяющий соотношение процессов испарения иседиментации, - Ku.Критерии подобия и их влияние на динамику аэрозольного облака.Модельные расчеты и сравнение с экспериментомПроведем оценку времени осаждения водяных капель разных размеров поддействием гравитации в воздухе (при нормальных условиях). Расчеты показыва-ют, что быстро осаждаются лишь капли с радиусом более 1 мкм: для D=20 мкмвремя осаждения составит 0,69 мин, а для D = 0,2 мкм - 116 ч. Таким образом, длясреднедисперсных аэрозолей осаждение следует учитывать, только если нас ин-тересует время, измеряемое часами, а не минутами. Испарение же субмикроннойводяной капли происходит за доли секунды. При таких условиях критерийKu >> 1, Ku ~ 109…1011 . Но для других условий, например повышенной влажно-сти капель трудноиспаряемых жидкостей, а также для грубодисперсных жидкока-пельных аэрозолей, критерий Ku становится ~1. В этом случае процессы испаре-ния и седиментации будут идти с одинаковой по порядку величины скоростью.Дальнейшее уменьшение Ku говорит о преобладании скорости седиментации пе-ред испарением; в пределе, например для твердофазных аэрозолей, Ku = 0 и испа-рения не происходит.Параметр To показывает, насколько для данного физико-химического составакапли скорость испарения зависит от кривизны поверхности. Для водяной каплипри нормальных условиях To~10-3. Другие параметры модели: ƒ - параметр, ха-рактеризующий начальное распределение частиц по размерам; bk - скорость коа-гуляции. Скорость коагуляции может существенно меняться при специальныхвоздействиях. Так, например, ультразвуковое воздействие на резонансных часто-тах увеличивает скорость коагуляции в десятки раз [3]. В этом случае вид функ-ции вероятности столкновений K(x,x) будет другой и будет включать в себя па-раметры излучения.Результаты проведенных расчетов с помощью модели (6) для случая отсутст-вия испарения (Ku=0) приведены на рис. 1 и 2. Параметры расчета: ƒ = 1,D0 = 1 мкм, tl = 1010 c, bk = 1 (рис. 1) и bk = 1000 (рис. 2). Как видно из расчетов,ускорение процессов коагуляции приводит к существенному различию видафункции распределения и количества осевшего аэрозоля: 5,5 % ⎯bk = 1 для и0,13 % для ⎯bk = 1000.0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 х0,040,080,120,16f (x)123Рис. 1. Функция распределения частиц по размерам в нулевой момент времени (1),при ƒ = 0,25 (2) и при ƒ = 0,5 (3) - расчет для⎯bk = 1Рис. 2. Функция распределения частиц по размерам в нулевой момент времени (1),при ƒ = 0,25 (2) и при ƒ = 0,5 (3) - расчет для⎯bk =1000Результаты проведенных расчетов для случая преобладания испарения надпроцессами коагуляции и осаждения (Ku>>1) приведены на рис. 3 и 4. Параметрырасчета: ƒ = 1, D0 = 1 мкм, tl = 1010 c, bk =1000, To = 0,001, Ku = 1010 (рис. 3) иKu = 107 (рис. 4). Последняя кривая 3 на рис. 3 и 4 отражает функцию распределе-ния при почти полном испарении аэрозоля: ƒm = 0,99. Как видно из рисунков,функция распределения частиц по размерам в случае преобладания испарения непретерпевает значительных изменений, за исключением области малых частиц(x < 0,4). Доля малых частиц со временем быстро возрастает, а распределениебольших капель остается практически неизменным.00,2 1 1,8 2,6 3,4 4,2 х0,040,08f (x)123Рис. 3. Функция распределения частиц по размерам в нулевой момент времени (1),при ƒ = 10−9 (2) и при ƒ = 1,5·10−9 (3) - расчет для Ku = 1010f x ( )0123Рис. 4. Функция распределения частиц по размерам в нулевой момент времени (1),при ƒ = 10−5 (2) и при ƒ = 2,5·10−5 (3) - расчет для Ku = 107Расчеты для случая равноценности процессов испарения, коагуляции и осаж-дения (Ku = 1) отображены на рис. 5. Параметры расчета: ƒ = 1, D0 = 1 мкм,tl = 1E+6 c, bk = 1000, To = 0,001. Доля убыли массы аэрозоля за счет испарения иосаждения, соответствующая кривой 3 (ƒ = 0,05), составляет ƒm = 0,0275. Срав-нивая рис. 1, 2 и 5, можно заметить, что максимум функции распределения сме-щается со временем в сторону более малых частиц при ненулевом значении пара-метра Ku за счет испарения. Сравнивая рис. 3, 4 и 5, можно отметить, что процес-сы коагуляции и осаждения существенно изменяют со временем вид функциираспределения частиц по размерам в аэрозоле. Эту функцию уже нельзя описать спомощью гамма-распределения. Кроме того, спектр обрезан в области крупныхчастиц за счет осаждения, и точка обрезания спектра смещается со временем в об-ласть все более малых размеров.0 1,2 2,4 3,6 4,8 6 7,2 х0,20,40,6f (x)123Рис. 5. Функция распределения частиц по размерам в нулевой момент времени (1),при ƒ = 0,025 (2) и при ƒ = 0,05 (3) - расчет для Ku = 1Для проверки адекватности предложенной модели проведено сравнение с экс-периментом. Измерения спектра размеров частиц проводилось с помощью моди-фицированного метода малоуглового рассеяния, основанного на поиске парамет-ров функции распределения частиц по размерам путем решения серии прямых за-дач оптики аэрозолей [4]. Сущность метода заключается в определении спектраразмеров аэрозольных частиц по измеренной малоугловой индикатрисе рассеянияпутем сравнения ее с расчетными значениями. Установка позволяет определятьпараметры гамма-распределения (в диапазоне 1-100 мкм), а также концентрациюаэрозоля в заданном объеме.Лазерный измерительный комплекс ЛИД-2М [4] состоит из излучателя, фото-приемного блока и блока регистрирующей аппаратуры. В качестве излучателя ис-пользовался гелий-неоновый лазер с длиной волны излучения 0,632 мкм. Установкапозволяет регистрировать излучения рассеяния в диапазоне углов ƒ = 0−15.Для генерации аэрозоля использовался метод импульсного распыления [5]. Ре-гистрация дисперсных характеристик аэрозоля производилась методом, описан-ным выше, в измерительном объеме 1 м3. В эксперименте распылялась вода.Результаты экспериментальных измерений более наглядно можно представитьне счетной, а массовой функцией распределения частиц по размерам, которая свя-зана со счетной соотношением g(D) = m/m10 f(D), где m10 - среднеарифметическаямасса частиц: 100m mf(D)dD=  , m - масса частицы диаметром D. В безразмерномвиде g(x), где x = D/D0. Экспериментально измеренные в начальный моментвремени параметры распределения модельного аэрозоля: ƒ = 0,38, b = 0,184.Параметры расчета ƒ = 0,38, D0 = 2,1 мкм, tl = 3,5·1010 c, bk = 1000, To = 0,0022,Ku = 2,9·1010.Результаты экспериментальных измерений и расчета массовой функции рас-пределения частиц аэрозоля по размерам приведены на рис. 6. Как видно из срав-нения кривых 2 и 3 (эксперимент) и 4 и 5 (расчет), пик распределения в экспери-0 2,8 9,7 14,5 19,4 х0,10,2f (x)12345Рис. 6. Функция распределения частиц по размерам в нулевой момент времени (1),при t = 6 с (2 - эксперимент, 4 - расчет) и при t = 12 с (3 - эксперимент, 5 - расчет)менте и в расчете хорошо совпадает, но расчетные кривые более «размазаны» прибольших диаметрах. В целом, можно говорить о хорошем совпадении модельныхрасчетов с экспериментальными данными. Отличия в форме кривых можно объ-яснить ограничениями математического аппарата метода измерений: решениеподбирается в виде гамма-распределения, в то время как такой вид функции рас-пределения характерен для состояния равновесия; в процессе эволюции аэрозолявид функции распределения может искажаться.Учитывая выражение для убыли массы частиц (7) в условиях преобладанияиспарения над седиментацией (субмикронный модельный аэрозоль с приведен-ными выше параметрами функции гамма-распределения), выясним, какая массо-вая доля диспергированного аэрозоля испарится в первые секунды. Результатыполученного расчета (кривая) и эксперимента (точки) динамики отношения изме-нение массы капель ƒm к начальной массе m0 приведены на рис. 7. Уже через 12 состанется только 10 % от исходной массы аэрозоля, остальные 90 % массы жид-кости испарятся. Это хорошо согласуется с данными эксперимента.1 3 5 7 9 11 13 t, cƒm/m0, %020406080Рис. 7. Относительня

Скачать электронную версию публикации