Hopfian abelian groups.pdf В 1932 году швейцарский математик Хейнц Хопф поставил вопрос о сущест-вовании конечно-порожденной группы, изоморфной некоторой своей собствен-ной фактор-группе. Группы, не обладающие таким свойством, получили названиехопфовых.Первым общим результатом по вопросу Хопфа явилась теорема А.И. Мальце-ва, утверждающая хопфовость произвольной конечно-порожденной F-аппрокси-мируемой группы [12]. Первый пример конечно-порожденной нехопфовой груп-пы принадлежит Б. Нейману [9]; построенная им нехопфова группа имеет два об-разующих элемента, но требует бесконечного множества определяющих соотно-шений. Г. Хигманом построен пример нехопфовой группы с тремя образующимии двумя определяющими соотношениями [6]. Минимальные в этом смысле при-меры нехопфовых групп с двумя образующими и одним определяющим соотно-шением были указаны в работе Г. Баумслага и Д. Солитэра [3].Более поздние результаты о нехопфовых группах содержатся в работах [5, 8,13]. Хопфовы абелевы (т.е. коммутативные) группы изучали Г. Баумслаг [1, 2],Корнер [4], Такаши и Ирвин [7, 10]. В частности, Корнер построил хопфову груп-пу A без кручения, квадрат которой (т.е. группа уппа A⊕A) не является хопфовойгруппой.Понятие хопфовости можно ввести для различных алгебраических систем: мо-дулей, колец, упорядоченных множеств, топологических и функциональных про-странств. Исследование хопфовых объектов представляется важной и интереснойзадачей современной алгебры. Ограничимся здесь рассмотрением только хопфо-вых абелевых групп. В связи с этим, во избежание недоразумений, сразу огово-римся, что везде в тексте работы слово «группа» будет обозначать аддитивно за-писанную абелеву группу.Определение 1. Группа A называется хопфовой, если она не имеет собствен-ных изоморфных себе фактор-групп.Таким образом, если C - подгруппа хопфовой группы A и A≅A/C, тоC = 0 и фактор-группа A/C тривиальна, т.е. A/C = A. Можно дать и другое оп-ределение хопфовой группы.Определение 1'. Группа A называется хопфовой, если всякий эпиморфизмгруппы A на себя является автоморфизмом.Покажем, что эти определения эквивалентны. Если группа A не хопфова всмысле определения 1', то найдется эпиморфизм α:A→A, не являющийся авто-морфизмом. Для него будет Imα ≅ A и Kerα ≠ 0 . Значит, A≅A/ Kerα, гдеKerα ≠ 0 . Обратно, пусть группа A не хопфова в смысле определения 1 иA≅A/B для некоторой ненулевой подгруппы B. Обозначим через ϕ изомор-физм A→A/B. Построим отображение χ: A→A, полагая 1 −χ = ϕ ψ, гдеψ:A→A/B- канонический эпиморфизм. Очевидно, χ - эпиморфизм, но не ав-томорфизм, так как Kerχ=Kerψ=B≠0 .Следующий факт хорошо известен.Теорема 1. Любая конечная группа хопфова.Доказательство. Пусть дана конечная группа A , причем A n = . Рассмотримпроизвольную собственную фактор-группу A/C группы A . Докажем, чтоA ≅ A/C. По теореме Лагранжа (порядок и индекс любой подгруппы конечнойгруппы A являются делителями порядка самой группы) заключаем: n:⋅s, гдеs=|A/C|. Откуда n>s (фактор-группа A/C - собственная). Имеем A>A/C,следовательно, группы A и A/C неизоморфны. Теорема доказана.Теорема 2. Если A=B⊕C и A - хопфова группа, то группы B и C хопфо-вы.Доказательство. Пусть дана прямая сумма A=B⊕C и известно, что группаA - хопфова. Покажем, что группы B и C также хопфовы. Предположим про-тивное, т.е. пусть, например, группа B не хопфова. Значит, существует отобра-жение α∈End B , такое, что α - эпиморфизм, но не автоморфизм, т.е. Kerα ≠ 0 .Пусть ε:C→C- тождественное отображение. Определим эпиморфизмγ:A→A, полагая γ(a) = α(b)+ε(c) для любого a=b+c, где ,b∈B c∈C.Далее,γ(a)=γ(b+c)=α(b)+ε(c)=α(b)+c .Видно, что γ - эпиморфизм, но Kerα = Ker γ ≠ 0 . Возникает противоречие с тем,что группа A хопфова. Полученное противоречие завершает доказательство.Теорема 3. Группа без кручения конечного ранга хопфова.Доказательство. Пусть A - группа без кручения конечного ранга. По одномуиз свойств ранга без кручения имеем 0 0 0 r (A)=r (B)+r (A/B)[14, с. 105]. ПустьA≅A/B, тогда факторгруппа A/B не имеет кручения. Следовательно, справед-ливо равенство: r(A)=r(B)+r(A/B). Учитывая, что r(A)= r(A/B), получаем:r(B)=0, откуда B = 0 , т.е. группа A хопфова. Теорема доказана.В линейной алгебре хорошо известно матричное представление линейныхпреобразований. Используя прямые разложения, можно получить подобное пред-ставление эндоморфизмов абелевых групп определенными матрицами, называе-мыми формальными или обобщенными. Для удобства чтения приведем соответ-ствующие хорошо известные построения (см. [11], [15, теорема 106.1]).Пусть дана прямая сумма групп1niiA A== ⊕ . Рассмотрим квадратную матрицу, 1,...ji i j= ,nα с элементами Hom( , ) ji i jα ∈ A A . Для таких матриц можно опреде-лить обычные для матриц операции сложения и умножения. Нетрудно убедиться,что сложение и умножение формальных матриц всегда выполнимы и приводят кматрицам этого же вида. В результате получаем кольцо матриц указанного вида(кольцо обобщенных матриц).Теорема 4. Кольцо эндоморфизмов группы1niiA A== ⊕ изоморфно кольцуобобщенных матриц jiα порядка n .î.Пусть { | 1,..., } iε i= n - полная ортогональная система про-екций, соответствующих данному разложению группы A . Произвольный элементa∈A равен сумме1niia=Σε . Для любого α∈E(A) имеем1 , 1( ) ( )n ni j ii ija a a= =α =Σα ε =Σε αε .Сопоставим эндоморфизму α матрицуji i, j=1,...,nα , :ji f α α , гдеji j iα =ε αε . Можно отождествить E( ) j iε Aε с Hom( , ) i jεAε A , т.е. с Hom( , ) i jA A .Если β∈E(A) и ji β - соответствующая матрица с ji j i β =ε βε , то матрицы, со-ответствующие α−β и , αβ - это разность ji ji α −β и произведение1njk kik =Σα βматриц jiα и ji β . Следовательно, f - кольцевой гомоморфизм. Понятно, чтонулевой матрице соответствует лишь нулевой эндоморфизм группы A . Обратно,пустьji i, j=1,...,nα - некоторая матрица с элементами E( ) ji j iα ∈ε A ε . Определимα∈E(A) , положив для a∈A, 1njii ja a=α = Σα .Тогда :ji f α α . Таким образом, f - изоморфизм колец. Теорема доказана.Рассмотрим случай, когда 1 2A=A⊕A . Пусть 1, 2ε ε - соответствующие орто-гональные проекции. Тогда имеем11| 1 Aε = ,21| 0 Aε = ,12| 0 Aε = ,22| 1 Aε = . Други-ми словами, для любого элемента a∈A 1 2 1 1 2 2 (a=a +a,a∈A,a ∈A) будет1 1εa=a , 2 2ε a=a , откуда 21 1ε =ε , 22 2ε =ε , 1 2 2 1ε ε = ε ε = 0 и 1 21Aε +ε = . Согласнотеореме 4, получаем1 2 11 2 2E( ) Hom( , )E( )Hom( , ) E( )A A AAA A A≅⎛⎜ ⎞⎟⎝ ⎠.Каждому эндоморфизму му α∈E(A) поставим в соответствие формальную мат-рицу:1 1 1 22 1 2 2f :α ⎛⎜⎝εε ααεε εε ααεε⎞⎟⎠ ,или, согласуясь с введенными выше обозначениями,11 1221 22f :α ⎛⎜⎝αα αα ⎞⎟⎠ .При этом соответствии действию эндоморфизма α на элементе z=x+y 1 (x∈A,2 y∈A) отвечает умножение матрицы 11 1221 22⎛α α ⎞⎜⎝α α ⎟⎠на вектор-столбецxy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠.Выясним, как действуют эндоморфизмы jiα на элементах групп 1 A и 2A .Пусть 1 x∈A и 1 2 α(x)=x+x , где 1 1, 2 2x∈A x ∈A. Тогда 11 1 α (x)=x , 21 2 α (x)=x .Аналогично, если 2 y∈A и 1 2 α(y)=y+y , где 1 1, 2 2 y∈A y ∈A , то 12 1 α (y)=y,22 2 α (y)=y .Если 1 2 A=A⊕A , причем 1 2 Hom(A,A ) = 0 (т.е. подгруппа 1 A вполне инвари-антна в группе A ), то будем иметь1 2 12E( ) Hom( , )E( )0 E( )A A AAA≅⎛⎜ ⎞⎟⎝ ⎠.В теории модулей известен следующий важный факт. Если M - R-S-бимодуль,то верхние треугольные матрицы вида0r ms⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠, где r∈R, s∈S , m∈M, образу-ют кольцо, называемое кольцом формальных треугольных матриц. Несложно по-казать, что матрица0u mv⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠обратима в этом кольце тогда и только тогда, когдаэлемент u обратим в кольце R , а v обратим в кольце S . Справедлива следующаяТеорема 5. Если 1 2 A=A⊕A , а прямые слагаемые 1 A и 2A хопфовы и, крометого, подгруппа 1 A вполне инвариантна в группе A , то A - хопфова группа.Доказательство. Зафиксируем некоторый эпиморфизм α:A→A. Пусть11 12220α =⎛⎜⎝α αα ⎞⎟⎠. Сначала покажем, что 22 2 2 α :A→A- автоморфизм. Выберемпроизвольный элемент 2 2 a A ∈ . Так как α - эпиморфизм, то в группе A всегданайдется такой элемент z=x+y 1 2 (x∈A,y∈A), что 2 α(z)=a . Имеем11 12 11 1222 22( ) ( )( ) .0 ()x x yzy yα =⎛⎜⎝α αα ⎞⎟⎠⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠=⎛⎜⎝α α+α ⎞⎟⎠С другой стороны,20(z) .aα =⎛⎜ ⎞⎟⎝ ⎠Таким образом, 22 2 α (y)=a . Значит, 22 α - эпи-морфизм, а поскольку группа 2A хопфова, то 22 α является также и автоморфиз-мом. Теперь проверим, будет ли автоморфизмом отображение 11α . Пусть 1a -произвольный элемент группы 1 A . Поскольку α - эпиморфизм, то в группе Aобязательно существует такой элемент z′=x′+y′ 1 2 (x′∈A,y′∈A), что1 α(z′)=a. Имеем11 12 11 1222 22( ) ( )( ) .0 ()x x yzy yα ′=⎛⎜⎝α αα ⎞⎟⎠⎛⎜⎝ ′′⎞⎟⎠=⎛⎜⎝α α′+α′ ′⎞⎟⎠Учитывая, что 1 ( )0azα ′=⎛⎜ ⎞⎟⎝ ⎠, получаем 11 12 1 α (x′)+α (y′)= a , а также 22α (y′)=0.Из последнего равенства 22y′∈Kerα , но так как 22 α - автоморфизм, то y′ = 0 .Таким образом, 11 1 α (x′)=a и 11α - эпиморфизм. По условию теоремы группа 1 A -хопфова, поэтому 11α - автоморфизм группы 1 A . Следовательно, матрица11 12220α =⎛⎜⎝α αα ⎞⎟⎠обратима, т.е. эпиморфизм α является автоморфизмом. Итак,группа A - хопфова. Теорема доказана.Замечание 1. Покажем, что бесконечная прямая сумма копий какой-либогруппы не может быть хопфовой группой. Сначала установим справедливостьэтого факта для случая, когда число таких копий счетно. Действительно, рассмот-рим прямую сумму1iiA A∞=′= ⊕ , в которой i A A ≅ для любого i . Построим такойэпиморфизм ϕ группы A′ на себя, который не будет автоморфизмом. Именно,пусть эпиморфизм ϕ переводит 1 A в ноль, а каждую группу i A - изоморфно нагруппу i 1A− , i >1. Понятно, что Kerϕ ≠ 0 и ϕ - не автоморфизм. Таким образом,группа A′ - нехопфова. Теперь рассмотрим случай, когда ii IA A∈′= ⊕ , где 0 I >ℵ .Пусть I ′ - некоторое счетное подмножество в I . Обозначим через I ′′ разностьI \ I ′ . Можно записать( i ) ( j )i I j IA A A∈′ ∈′′′= ⊕ ⊕ ⊕ ,или1i ji jIA A A∞= ∈′′⎛ ⎞ ⎛ ⎞′=⎜⎝⊕ ⎟⎠⊕⎜⎝⊕ ⎟⎠.Теперь, если предположить, что группа A′ хопфова, то тогдаи ее прямое слагаемое1iiA∞=⊕ по теореме 2 тоже будет хопфовой группой. Но изсказанного выше это невозможно.Замечание 2. Квазициклическая группа (p )∞ Z также не является хопфовойгруппой. Докажем это. Пусть 1, 2, ..., n , ...c c c - образующие квазициклическойгруппы. Выполняются включения1 20 ... ...n⊂ c ⊂ c ⊂ ⊂ c ⊂ .Зададим эпиморфизм : (p ) (p )∞ ∞αZ →Z , указав, как он действует на образую-щих элементах. Именно, пусть :i i α c→pc для каждого i . Тогда α - эпиморфизм,который, очевидно, не является автоморфизмом.Теорема 6. Делимая группа будет хопфовой группой тогда и только тогда, ко-гда она является прямой суммой конечного числа копий группы Q .Доказательство. Необходимость. Пусть D - делимая группа,p 0pD = ⊕D ⊕D, где pD - прямая сумма некоторого числа копий группы (p )∞ Z , а0 D - прямая сумма копий группы Q . Если группа D является хопфовой, тогруппы pD и 0 D тоже являются хопфовыми как прямые слагаемые хопфовойгруппы. Тогда, учитывая замечания выше, получаем 0pD = и потому 0 D = D , а0 D есть конечная прямая сумма копий рациональной группы Q .Достаточность. Обратное утверждение имеет место в силу теоремы 3. Тео-рема доказана.Любая абелева группа A разлагается в прямую сумму делимой группы и ре-дуцированной группы [14], т.е. можно записать: A=D⊕R, где D - делимаячасть группы A , R - редуцированная часть группы A . Поскольку подгруппа Dвполне инвариантна в группе A , то, согласуясь с теоремой 5, приходим к сле-дующему важному результату.Следствие 7. Группа является хопфовой тогда и только тогда, когда ее реду-цированная часть есть хопфова группа, а делимая часть, если она ненулевая, естьконечная прямая сумма копий рациональной группы Q .Итак, мы установили, что проблема изучения хопфовых групп сводится к опи-санию и изучению хопфовых редуцированных групп.Теорема 8. Пусть ii IA A∈= ⊕ и все прямые слагаемые i A вполне инвариантны вгруппе A. Тогда группа A хопфова, если и только если каждая группа i A хопфова.Доказательство. Необходимость. Если группа A хопфова, то по теореме 2все прямые слагаемые i A хопфовы.Достаточность. Пусть все прямые слагаемые i A - хопфовы группы. Если α- эпиморфизм группы A , то понятно, что ограничения iα этого эпиморфизма накаждом прямом слагаемом, :i i iα A→A, тоже будут эпиморфизмами. Все этиэпиморфизмы будут и автоморфизмами, так как каждое прямое слагаемое i A -хопфова группа. Тогда, очевидно, α - автоморфизм. Теорема доказана.Мы знаем, что всякая конечно-порожденная абелева группа разлагается в ко-нечную прямую сумму циклических групп бесконечного порядка и порядков,равных степеням простых чисел [14]. В связи с этим фактом естественно поста-вить вопрос о том, когда произвольная прямая сумма циклических групп будетхопфовой группой. Исчерпывающий ответ на этот вопрос даетТеорема 9. Пусть A - прямая сумма циклических групп, 0piA= ⊕A ⊕A, гдеpiA - прямая сумма циклических i p -групп, 0A - прямая сумма циклических группбесконечного порядка. Тогда группа A хопфова, если и только если все группыpiA конечны, а группа 0A имеет конечный ранг.Доказательство. Необходимость. Если группа A хопфова, то все группыpiA и 0A хопфовы как прямые слагаемые хопфовой группы. Отсюда 0A - свобод-ная группа конечного ранга (см. замечание 1), а каждая группаpiA конечна.В противном случае, в группеpiA можно выделить прямое слагаемое B, являю-щееся прямой суммой счетного числа циклических i p -групп. Однако легко пока-зать, что такая группа B нехопфова. Действительно, группу B можно предста-вить в виде 1 2 ... B=B⊕B ⊕ , где все i B - циклические p -группы, порядки кото-рых неубывают с возрастанием значений индекса i . Очевидно, что можно за-дать эпиморфизм ϕ группы B на себя, не являющийся автоморфизмом. Кон-кретно, пусть ϕ переводит 1 B в ноль, а каждую группу i B на группу i 1B− , i >1.Таким образом, B - нехопфова группа. Но это невозможно, поскольку группаpiA хопфова.Достаточность. Пусть всеpiA - конечные группы, а 0A - есть свободнаягруппа конечного ранга. Обозначивpi⊕A через T , можно записать 0 A=T⊕A .Здесь T - периодическая группа и потому 0 Hom(T,A ) = 0 , т.е. подгруппа Tвполне инвариантна в A . Откуда00E( ) Hom( , )E( )0 E( )T A TAA⎛ ⎞≅⎜ ⎟⎝ ⎠.Согласно теореме 5, хопфовость группы A эквивалентна хопфовости групп Tи 0A . Но группа T будет хопфовой в силу теоремы 8, а группа 0A хопфова какгруппа без кручения конечного ранга. Итак, группа A является хопфовой. Теоре-ма доказана.

Скачать электронную версию публикации