Nonisothermal flow of a viscous fluid when filling a planechannel.pdf Заполнение пресс-форм расплавом полимера является основной стадией фор-мования изделий методом литья под давлением. Именно на этой стадии возможноформирование дефектов изделия, таких, как воздушные включения, поверхност-ные дефекты, линии спая и т.п. Для прогнозирования качества изделий необходи-мы предварительные исследования технологического процесса, которые могутосуществляется методами физического и математического моделирования. Методматематического моделирования представляется предпочтительным, посколькуболее экономичен и информативен по сравнению с физическим моделированием,привлекаемым на последней стадии исследования для проверки теоретических ре-зультатов. Процесс заполнения характеризуется наличием свободной поверхно-сти, неизотермичностью, связанной с диссипативным разогревом, химическимпревращением, условиями теплообмена на границах, зависимостью реологиче-ских характеристик среды от температуры. Результаты исследования неизотерми-ческих течений реологически сложных сред в каналах без учета свободной по-верхности достаточно полно представлены в [1, 2]. Имеются работы [3−5], в кото-рых описываются вычислительные технологии и приводятся результаты исследо-ваний процесса заполнения с учетом свободной границы.В данной работе с помощью оригинального численного метода исследуетсятечение вязкой жидкости при заполнении вертикального плоского канала с уче-том диссипативного разогрева и зависимости вязкости от температуры.Постановка задачиРассматривается заполнение вертикального плоского канала жидкостью с уче-том зависимости вязкости от температуры, наличия диссипативного разогрева исвободной поверхности. Область течения схематично изображена на рис. 1. Не-стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости в неизотермических усло-виях в поле силы тяжести описывается уравнениями движения, неразрывности итеплопроводности, которые в безразмерном виде записываются следующим обра-зом:Re grad (2 ) ,Pe ,div 0,dp BdtdC BAdt= − +∇ +θ= Δθ+=uE Wuiгде u - вектор скорости, p - давление,θ =(T−T0)/T0 - температура, T - размернаятемпература, T0 - размерная температура натвердой стенке, t - время, A2 - второй инва-риант тензора скоростей деформаций Е,W ={W,0}. Зависимость вязкости от темпера-туры описывается выражением [6]2 CB e− θ=Безразмерные числа подобия имеют вид2 21 2 00Re , Pe , , , .UL c UL L UW gC C TU Tρ ρ ρ μ= = = = = αμ λ μ λЗдесь: ρ - плотность жидкости; L - полуширина канала; U - среднерасходная ско-рость во входном сечении; μ - вязкость при температуре T0; α - параметр неизо-термичности; c - теплоемкость; λ - коэффициент теплопроводности, g - ускоре-ние свободного падения.На твердой стенке Г2 выполняется условие прилипания, а температура счита-ется заданной. Во входном сечении Г1 профили скорости и температуры соответ-ствуют стационарному неизотермическому течению жидкости в бесконечном ка-нале с заданным расходом. На свободной поверхности Г4 граничные условия за-ключаются в отсутствии касательного напряжения и равенстве нормальноговнешнему давлению, которое без ограничения общности можно считать равнымнулю, задается также нулевой тепловой поток. На плоскости симметрии Г3 ис-пользуются условия симметрии. В начальный момент времени канал частично за-полнен жидкостью, а свободная поверхность плоская. Сила тяжести направленапротив направления движения, капиллярные эффекты не учитываются.Метод решенияПоставленная задача решается с помощью конечно-разностного метода [7].Алгоритм SIMPLE используется для расчета искомых переменных во внутреннихузлах разнесенной сетки, причем значения скорости и температуры вычисляютсяс применением экспоненциальной и противопоточной схемы соответственно.Граничные условия на свободной поверхности удовлетворяются с использовани-ем метода инвариантов, в котором условие отсутствия касательного напряжения иуравнение неразрывности записываются совместно, что позволяет построить ус-тойчивый алгоритм расчета.Тестирование методики расчета проводилось на задаче течения жидкости вплоском полубесконечном канале с заданным расходом с учетом диссипативногоразогрева и экспоненциальнойзависимости вязкости от температуры. На входе вканал задавались параболический профиль для скорости и нулевая температура;а на выходе - мягкие граничные условия. На твердых стенках выполняется усло-вие прилипания, температура равна нулю. При этом длина канала выбираетсядостаточной для установления стационарного течения в выходном сечении.Результаты расчетов сравнивались с решением одномерной задачи, описы-вающей неизотермическое течение жидкости в бесконечной трубе с заданнымрасходом. При постановке этой задачи используется система уравнений222 22 1,0CCd dve pdx dxd dvC edx dx− θ− θ⎧ ⎛ ⎞= δ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪⎨⎪ θ+ =⎪⎩и граничные условия на твердой стенке, аналогичные условиям в постановке дву-мерной задачи.Здесь δp - перепад давления вдоль канала. Из последней системы дифферен-циальных уравнений получается уравнение для температуры22 22210d p Ce xdx Cθ θ δ+ = ,приближенное решение которого находится с заданной точностью методом про-гонки. Для определения скорости используется процедура численного интегриро-вания первого уравнения системы.На рис. 2 представлено сравнение распределений скорости и температуры навыходе из канала с решением одномерной задачи. Из рисунка видно, что значе-ния, полученные с помощью вышеописанной методики расчета, с уменьшениемшага расчетной сетки практически совпадают с решением одномерной задачи.Максимальная ошибка на сетке с шагом 1/20 составляет не более полпроцента.v0,40,81,21,60 0,2 0,4 0,6 0,8 хT0,20,40,60,80 0,2 0,4 0,6 0,8 хОдномерное решениеЧисленное решение 1/10Численное решение 1/20Численное решение 1/30Одномерное решениеЧисленное решение 1/10Численное решение 1/20Численное решение 1/30а бРис. 2. Распределения скорости (а) и температуры (б) в выходном сечении(Re = 10−3, W = 0, Pe = 10−4, C1 = 2, C2 = 1,3334)Результаты расчетовТечение жидкости при заполнении канала можно разделить на две зоны.Большая часть канала, расположенная на достаточном удалении от свободной по-верхности, является зоной одномерного течения. Движение жидкости в окрестно-сти свободной границы имеет двумерный характер и определяется как зона фон-танирующего течения [8]. Кинематика такого течения, оказывающая существен-ное влияние на свойства формуемого изделия, для изотермического случая де-тально описывается в работах [9−11]. Для прогнозирования физико-механическиххарактеристик изделия необходимо определять топограмму распределения пор-ций жидкости в заполненном объеме, поступающих в канал в разные промежуткивремени. Для решения задачи построения топограмм во входном сечении разме-щается слой частиц-маркеров. Эти частицы не обладают массой и перемещаютсясо скоростью жидкости. Совокупность частиц определяет в потоке некоторую ре-перную поверхность, которая разделяет соседние порции жидкости в предполо-жении, что они не смешиваются. В конечном итоге местоположение всех репер-ных поверхностей в момент времени, соответствующий окончанию процесса за-полнения, дает топограмму распределения выделенных порций жидкости.Уравнения движения частиц имеют вид,p pq p q pq qdx dyu vdt dt= = , p=1, …, M1, q=1, …, M2,где u, v - составляющие скорости в декартовой системе координат, M1 - числочастиц в одном репере, M2 - количество реперов. Координаты частиц в потоке оп-ределяются численным интегрированием выписанной системы.На рис. 3 представлены типичные топограммы массораспределения порцийжидкости, последовательно поступающих в канал, в различные моменты времени.xt = 0,5 t = 1,5 t = 2,5 t = 3,5 t = 4,5 t = 5,5 t = 6,5yРис. 3. Топограммы массораспределения (Re = 0,5, W = 5, Pe = 1000, C1 = 2, C2 = 1,3334)Чередование темных и светлых полос разделяет соседние порции жидкости. Эво-люция реперных поверхностей с формированием грибовидных форм в окрестно-сти свободной границы демонстрирует фонтанирующий характер течения в зонедвумерного движения жидкости. Учет неизотермичности процесса влияет на ки-нематику течения, в свою очередь кинематика течения обусловливает распреде-ления температуры в потоке. В случае, когда в переносе тепла преобладает кон-вективная составляющая (Pe>>1), поведение изотерм в потоке должно быть по-добно эволюции реперных линий, разделяющих порции жидкости. Действитель-но, это утверждение демонстрирует рис. 4, на котором представлена эволюцияполя температуры при высоком значении числа Пекле. Линии на рисунке - изо-термы, качественное поведение которых согласуется с эволюцией реперных ли-ний на рис. 3.Проявление эффектов кондуктивного теплопереноса и их усиление с умень-шением числа Пекле, при прочих равных условиях, демонстрируют рис. 5 и 6.По аналогии с кинематикой течения, картины теплораспределения можно такжеразделить на две зоны: зону двумерного распределения температуры в окрестно-сти свободной границы и зону распределения температуры, соответствующую ус-тановившемуся течению в бесконечном канале, в остальной части потока. Размерзоны двумерного распределения температуры растет с увеличением Pe при про-чих равных условиях. В процессе заполнения первоначально плоская свободнаяповерхность приобретает некую выпуклую форму. Выпуклость свободной по-верхности можно определить как разность значений высоты поверхности на плос-кости симметрии и на твердой стенке. Влияние эффектов неизотермичности навыпуклость свободной границы показано на рис. 7.Рис. 5. Эволюция поля температуры с течением времени(Re = 0,5, W = 5, Pe = 100, C1 = 2, C2 = 1,3334)Рис. 6. Эволюция поля температуры с течением времени(Re = 0,5, W = 5, Pe = 10, C1 = 2, C2 = 1,3334)12η0 2 4 6 t0,20,40,6Рис. 7. Выпуклость свободной поверхности с течением времени(Re = 0,5, W = 5, Pe = 10, 1 - C1 = 2, C2 = 1,3334, 2 - C1 = 0, C2 = 0)

Скачать электронную версию публикации