The Cauchy problem for long wave equations in the axisymmetric case.pdf 1. Постановка задачиРассмотрим начально-краевую задачу со свободной границей:( ) 0, 0 ( , ) T r z r U UU VU p Y ρ + + + = ≤ ≤HrT , (1.1)( ) ( ) 0, r ZrU + rV =pZ ρg = − ,10( ) 0HT rH r UdZ −+ ∫ = ,p(r, H(r, T), T)=0, V(r,0,T)=0, U(r,Z,0)=U0(r, Z), H(r,0)=H0(r),которая описывает в приближении теории длинных волн осесимметричное завих-ренное течение слоя однородной весомой жидкости глубины H=H(r,T) над ров-ным дном Y=0. Здесь U, V - компоненты вектора скорости жидкости, p - давле-ние, ρ - плотность, g - ускорение свободного падения, U0 , H0 определяют исход-ные поле скоростей и положение свободной поверхности.Эта задача может быть сведена к задаче Коши по фиксированной области (по-лоса0≤ λ ≤1 , λ - аналог лагранжевых координат) заменой переменных r'=r, t'=t,y'=Ф(r,t, λ), где Ф(r,t, λ) определяется в результате решения задачиΦ001Φ ( (, ,) ) 0, Φ(,0,λ) λ () t rrU r Z t dZ r H rr+ ∫ = = .В результате исходная задача эквивалентна задаче Коши для системы интегро-дифференциальных уравнений100t r r u +uu +g∫hdv= ,1 ( ) 0, 0 λ 1 t rh uh r uh −+ + = ≤ ≤, (1.2)0 0 0 u(r,0, λ)= U (r, λH (r)), h(r, 0, λ)= H (r) .Здесь u(r, t, λ) = U(r, Ф(r, t, λ), t), h(r, t, λ)= Фλ (r, t, λ),В случае, когда 0YU ≡ (что соответствует в длинноволновом приближениибезвихревому течению) система (1.2) переходит известные уравнения теории«мелкой воды». Мы будем рассматривать вихревые течения( 0YU ≡ ).Общая теория гиперболичности систем уравнений первого порядка примени-тельно к интегро-дифференциальным уравнениям была сформулирована в [1, 2], ав [3] были указаны условия гиперболичности в плоском случае.Действуя аналогично [3] можно показать, что условия( )( )λΧ0,Χ (u) 0, Δ 0Χuu argu+±−⎡ ⎤> ≠ ⎢ ⎥=⎣ ⎦(1.3)достаточны для гиперболичности уравнений (1.2).Здесь Δ обозначает приращение функции на интервале 0≤ λ ≤1,( ) ( ) ( ) 1 10 1 1 0 Χ u u uω u u ω± − − = − − − +( )( )10u0 1)u ν λλ1 dν 1 1(1 πiω ωu u u u gu u u+ − − − ⎛⎜ ⎞⎟ ⎛⎜ ⎞⎟⎝ ′⎠ ′− ⎝ ′⎠ ∫ ∓ ,λω=u /h, u', u - cокращенные обозначения u(r, ν, t), u(r, λ, t). Индексы «0», «1» -значения функций при λ =0, λ =1. Здесь τ', τ, ω - сокращенные обозначения u(ν),u(λ), ω(λ), u(ν),Система уравнений (1.2) имеет семейство характеристик, соответствующихнепрерывному спектру r r (t),( [0;1]):λ = λ∈dr / dt u(r , ,t ) λ λ = λи характеристики ( ) ir=r t , соответствующие дискретному характеристическомуспектру ( )/ ( , );( 1,2) i iidr dt=k r t i=Характеристические числа ki определяются как корни уравнения( )1201i∫h′ u′−k dv= (1.4)Если условия (1.3) выполнены, это уравнение имеет только два действитель-ных корня㗜( ) ( ) ( ) ( )1 λ 2 λ k r,tmax u λ,r,tИ система (1.2) эквивалентна соотношениям на характеристиках11 1 20ν 0t rR uR ur R r u hd − −⎛ ⎞+ + − ⎜⎜ + ′ ⎟⎟=⎝ ⎠∫ (1.5)11 1 200 ( 1, 2) it i ir i i iR kR kr R r k hd i − −⎛ ⎞+ + − ⎜⎜ + ′ν⎟⎟= =⎝ ⎠∫1ω ω ω 0где10i i ,ih dvR ku k′= −′ − ∫ (1.6)( )10h dvR uu u′= λ −′ − ∫ .В дальнейшем h заменим величинами u и ω при помощи равенства λωuh = .2. Априорные оценкиДля того чтобы получить априорные оценки для решения задачи Коши (1.2),используем аналог метода интегралов энергии. Система уравнений (1.2) сводитсяк симметрической форме путем введения инвариантов Римана R, ω, Ri. Это позво-лит нам использовать такую же схему получения оценок для решения и его про-изводных в соболевском классе функций, как те, что используются в случае ква-зилинейных гиперболических систем дифференциальных уравнений.Чтобы получить оценку для решения, нужны соотношения для производных сu через производные инвариантов Римана.После дифференцирования (1.5) получим соотношения:1 110 01 1νω ωr rr rru u uu d R Fu u u uν− ∂⎛⎜ ′ − ⎞⎟ = + ⎛⎜ ⎞⎟ ′ =′∂ν⎝ ′− ⎠ ⎝ ′⎠ ′−∫ ∫ ,1 110 01 1ν φω ν ωrir ii r iu ud Ru k u kν− ∂⎛⎜ ′ ⎞⎟ = + ⎜⎛ ⎟⎞ ′ =′∂⎝′− ⎠ ⎝ ′⎠ ′−∫ ∫ . (2.1)Аналогичные представления могут быть получены для , rr rrru u :1 ( ) ( ) 1 ( )( ) ( )0 01 1ν ( 1, 2)ω ν ωk k kk r r kr r kru u uu d R F iu u u uν− ∂⎛⎜ ′ − ⎞⎟= + ⎛⎜ ⎞⎟ ′ = =′∂⎝ ′− ⎠ ⎝ ′⎠ ′ −∫ ∫ ,1 ( ) 1 ( )( )0 01 1φ ( 2,3)k kr kir kii r iu ud R ku k u kν− ∂⎛⎜ ′ ⎞⎟ν= + ⎛⎜ ⎞⎟ ′ = =ω′∂ν⎝′− ⎠ ⎝ω′⎠ ′−∫ ∫ ,1 1 1 220 0 01 1 12 νωr rrrrr ru u u uF R d du u u u u uν ν= + ⎜⎛ ⎟⎞ ′ + ⎜⎛ ⎟⎞∂⎛⎜ ′⎞⎟ν− ∂⎛⎜ ′ − ⎞⎟⎝ ′⎠ ′− ⎝ω′⎠ ∂ν⎝′− ⎠ ω′∂ν⎝ ′− ⎠∫ ∫ ∫ ,1 1ν30 01 13 νω ω νr rrrrrrr rru u uF R du u u u= + ⎛⎜ ⎞⎟ ′ + ⎛⎜ ⎞⎟ ∂⎜⎛ ′ − ⎟⎞ +⎝ ′⎠ ′− ⎝ ′⎠ ∂⎝ ′− ⎠∫ ∫1 1 20 01 13 3ω νrr rr r rr ru u u ud du u u u+⎛⎜ ⎞⎟∂⎛⎜′− ⎞⎟ν− ⎛⎜ ⎞⎟∂⎛⎜′−⎞⎟ ν −⎝ ′⎠∂⎝ ′− ⎠ ⎝ω′⎠∂ν⎝ ′− ⎠∫ ∫( )( )( )( ) 31 120 01 13 ν2 νω ν ω νrr rr r rr ru u u uu u d du u u u∂⎛′− ⎞ ∂⎛′−⎞− ⎜ ′− ⎟ + ⎜ ⎟′∂⎜⎝ ′ − ⎟⎠ ′∂⎜⎝ ′ − ⎟⎠∫ ∫ ,φ 2 νω ω νri irrrr i r iu d uR du k u k= + ⎛⎜ ⎞⎟ ′ + ⎛⎜ ⎞⎟ ∂⎛⎜ ′ ⎞⎟ −⎝ ′⎠ ′− ⎝ ′⎠∂⎝′− ⎠∫ ∫( )1 2 1 2230 01 1ν 2 νω ν ωr viri iu ud k du k u k∂⎛ ′ ⎞ ′− ⎜ ⎟ −′∂⎝′− ⎠ ′ ′ −∫ ∫ ,1 1ν30 01 ν 1φ 3 νω ω νri irrrrrr i rr iu d uR du k u k= + ⎛⎜ ⎞⎟ ′ + ⎛⎜ ⎞⎟ ∂⎛⎜ ′ ⎞⎟ −⎝ ′⎠ ′− ⎝ ′⎠ ∂⎝′− ⎠∫ ∫1 2 10 01 13 ν2 νω ν ω νr vr i r iu ud du k u k−⎛⎜ ⎞⎟∂⎛⎜ ′ ⎞⎟+⎛⎜ ⎞⎟∂⎛⎜ ′ ⎞⎟ −⎝ ′⎠∂⎝′− ⎠ ⎝ ′⎠∂⎝′− ⎠∫ ∫( ) ( )1 1 33 30 01 12 ν 2 νω ν ω νr rr ri iu u ud du k u k∂⎛ ′ ′ ⎞ ∂⎛ ′ ⎞− ′∂⎜⎜⎝′− ⎟⎟⎠+ ′∂⎜⎜⎝′− ⎟⎟⎠ +∫ ∫( ) ( )1 1ν2 20 01 ν 12 νω ω νrirrr i r iu d uk du k u k+ ⎛⎜⎝′⎞⎟⎠ ′′− + ⎛⎜⎝′⎞⎟⎠ ∂∂⎜⎜⎝⎛′−′ ⎟⎟⎞⎛ ⎞⎜⎜ ⎟−⎠⎟⎝ ⎠∫ ∫( ) ( )1 2 13 20 01 12 ν νω ωνr rriri iu uk d du k u k∂⎛ ′ ⎞ ∂⎛ ′ ⎞′∂ν⎜⎜′ ⎟⎟+ ′∂ ⎜⎜′ ⎟⎟ −⎛⎝ − ⎠ ⎝ −⎞−⎜⎜ ⎟⎟⎝ ⎠⎠∫ ∫( ) ( )1 123 30 01 14 ν2 νω ωv vir ir ii iu uk k d k du k r u k′ ∂ ′− − +′′− ∂ ′′− ∫ ∫( ) ( )1 12 40 01 1ν 3 νω ν ωr viri iu ud k du k u k∂⎛ ′ ⎞ ′+′∂ ⎜⎜⎝′− ⎟⎟⎠+ ′′−∫ ∫ .Если представить функцию ur(k) в виде( ) ( ) ( ) ( ) k211 1 21ω α α 1,...,3k kr ku u k u k k − −= + − + − = , (2.2)где α1, α2k k - произвольные величины, не зависящие от λ, а ωk обращается в нульна концах промежутка, получим сингулярное интегральное уравнение для опре-деления ωk(λ, r, t):101 ωωωuku k ku uduR Fu u ′+ ⎛⎜ ⎞⎟ ′ =⎝ ′⎠ ′− ∫ (k = 1,...,3), (2.3)где ( ) 1 1 1 1λ λ ν ν , ω (ω ) , u kuR Ru u F− − − −′= ′ = ′ из (2.1а).С помощью (2.1a) найдем ( ) ( )1 , 2α αk kв точной форме( ( ) )( )1 1 1( )30 0ω ν1,...1 1α 2 φ 1,;ω2 ,3ω νk ki kii v iu d diu u kkk−ν=⎜⎜⎛⎝ ′′′−ν ⎟⎟⎞⎠⎜⎜⎛⎝−⎜⎛⎝′⎟⎞⎠ ′′− ⎟⎟⎞⎠ =∫ ∫ = (2.4)Условия гиперболичности (1.3) гарантируют однозначную разрешимость син-гулярного интегрального уравнения (2.3) в классе функций, удовлетворяющих ус-ловию Гельдера во внутренних точках интервала [ u0;u1] и ограниченных на егоконцах [4].Уравнение (2.3) может быть решено в явном виде102 21ωΧ ω Χ ( )uk u kku ufF fR f f F dug g u u + +′= − ⎛⎜ ⎞⎟ ′ ′ ′⎝ ′⎠ ′ ′−∫ , (2.5)где ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 , 1 2 f = u−u u−u g= u−k u−k .Представления (2.2), (2.4), (2.5) функций позволяют оценить эти функции че-рез производные инвариантов Римана ω, R, Ri.В R3(r, t, λ,) рассмотрим область Qt , ограниченную плоскостями t=0, t=const,λ=0, λ=1 и поверхностями Гi, определяемыми уравнениями( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 : / , ; 0 , 0 i i i i r=r t dr dt=k r t r =b r =a b>a .Сечение Qt плоскостью t=τ - прямоугольник:{( ) ( )] [ ] 2 1τ Ω r,λ :r r , r τ , λ 0;1 = ∈⎡⎣ ∈ .Символом H5 будем обозначать соболевское пространство функций, интегри-руемых с квадратом на некоторой области вместе с производными до s-го порядка,s > 0. Символ (τ) s Hh обозначает норму функции h в H5(Ωτ), (τ)qh обозначаетнорму в Lq(τ), (τ) ch - норма в C(Ωτ), Аналогичные нормы для функций, завися-щих только от r, t ( ( ) ( ) 2 1r r ,r τ ∈⎡⎣ τ ⎤⎦ ), обозначены как ( )( )| | , s Hh τ | | ( ), qh τ | | ( ) ch τЛемма. Пусть начальные данные удовлетворяют условиям (1.3) и нормы3( ) 3( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( )3 31 1λ 0 , ω 0 , ω 0 , 0 , 0 1,2 H H H H i Hu u R i − −= ограничены. То-гда 0∃ t >0 и положительные функции Ci(t) такие, что неравенства3( ) ( ) 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )311 2 3 , ω , ω , 1,2 H H Hu t C t t C t t C t i −≤ ≤ ≤ = ,( ) ( ) 3 ( ) ( )31λ H 4 , i H 5u t C t R t C t −≤ ≤выполнены на интервале 0 < t < t0.Функции Ci(t) и значение t0 зависят от заданных значений норм начальныхданных.Схема доказательства. Рассмотрим уравнения для квадратов производныхфункций( ) 1 1λ λ , , ω, ω , 1,2 iu u R i − −= .Интегрирование этих уравнений по Qt позволяет получить неравенство( ) ( ) ( )6 6 52 21 2 2 21 1 0 110 [ti i k r rr rrri i i cz t z C t u u ur = = =Σ ≤Σ + ∫Σ + + + (2.6)( ) ( ) ( )2 6 622 2 2 21 1 11 ( ) ] rrr ir irr irrr i ii i iu k k k z z d= = =+ +Σ + + +Στ Σ τ τ .Здесь C1 - положительная константа, ( ) ( ) ( ) 2 2 311 λ , 2 λ , 3 ω ,z t z R t z R t −= = = .Неравенство( ) ( ) ( )9 7 32 22 2 2 2 27 7 0 110 [ (1)ti i k r rr rrr rrri i i cz t z C t u u u ur = = =Σ ≤Σ + ∫Σ + + + + (2.7)4 91 7 749( ))( ( ) )] (τ) τ i i r c rr ii i iz zt fR fR z d= = =+Σ Σ + + Σможет быть получено аналогично. Здесь( ) ( ) ( ) 7 r2 , 8 rr2 , 9 rrr 2 z=fR t z=fR t z = fR t ,232 2 2 41(1) α ( ) rrr iiu z z==Σ + (2.8)Представление (2.3) ur как оператора над производными функций Ri, ω−1, fRr итак же, как аналогичные представления для ur , urr , urrr , позволяют получитьокончательное неравенство( ) ( ) ( ( ))00 Φ τ τtZ t ≤Z +∫ Z d (2.9)для ( )921() iiZ t z t==Σ с монотонно возрастающей положительной функцией Ф(z).Ограниченное решение этого неравенства обеспечивает требуемые оценки наинтервале [0; t0] только при выполнении условий (1.3). Для завершения доказа-тельства оценим разницу между выражениями (1.3) и их начальными данными иобеспечим выполнение условий (1.3) выбором t0.Теорема существования для задачи Коши (1.2) доказана, когда начальные ус-ловия удовлетворяют условиям леммы с равномерно ограниченными нормами иравномерно выполненными условиями (1.3) (равномерно по отношению к a, ко-гдаb−a =const ).Теорема. Существует t0 > 0, такое, что задача (1.2) имеет решение в интервале0

Скачать электронную версию публикации