The research of stationary solutions and theoptimization of parameters оf the mathematical model of methanogenesis.pdf 1. Математическая модель метаногенезаКрупные животноводческие предприятия, например птицефабрики, свиноком-плексы и фермы крупного рогатого скота (КРС), производят большое количествоотходов, загрязняющих окружающую среду. Данные отходы можно путем мета-ногенеза переработать в топливный газ (биогаз) и биоудобрения. Метаногенезосуществляется в специальных резервуарах - метантенках - при постоянном пе-ремешивании, способствующем созданию однородной среды.Существует три типа метаногенеза: метаногенез в психрофильной, мезофиль-ной и термофильной средах. Каждой среде соответствует определенный темпера-турный диапазон и типы бактерий. На практике широкое распространение полу-чил метаногенез в мезофильной среде, поскольку для данной среды интенсив-ность выделения биогаза не так чувствительна к колебаниям температуры суб-страта, как для термофильной среды. Кроме того, скорость выхода биогаза примезофильной среде существенно выше, чем при психрофильной. В дальнейшемрассматривается метаногенез в мезофильной среде. Оптимальная температура длямезофильной среды составляет 37 °С, а период полной ферментации - 25 суток [1].Для поддержания высокой производительности биогазовой установки необхо-димо контролировать и регулировать значения управляющих параметров. Дляэтого требуется предварительно разработать математическую модель процессаполучения биогаза, оценить ее параметры по экспериментальным данным, а такженайти оптимальные значения управляющих параметров.В литературе приводится множество моделей, описывающих различные био-технологические процессы, в том числе и метаногенез. Так, скорость приростаконцентраций микроорганизмов, в зависимости от концентрации субстрата, мо-жет быть описана моделями Моно, Мозера, Конто и др. [2, 3].В данной статье рассматривается математическая модель, основанная на моде-ли роста популяции бактерий Моно, с учетом процесса отмирания, задаваемогоуравнением Колпикова [2]. Скорость образования биогаза задавалась прямо про-порциональной концентрации бактерий. Соответствующая математическая мо-дель имеет вид( )1 210,,,dX L b p Xdt a L b LdL pL pL L Xdt a LdV X tdt⎧⎪⎪ =⎛⎜⎝ƒ+ − ƒ+ − ⎞⎟⎠ƒƒ ⎪ = − − ⎨ + ⎪⎪= ƒ ⎪⎩(1)с начальными условиямиX(0)=X0,L(0)=L0,V(0) =V0 =0, (2)где X - концентрация бактерий, кг/м3; L - концентрация питательных веществсубстрата, усваиваемых бактериями, кг/м3; V - выход биогаза, м3; ƒ1 и ƒ2 - макси-мально возможные относительные скорости соответственно прироста и отмира-ния бактерий, сут−1; ƒ - безразмерный коэффициент усвоения субстрата; p - отно-сительная скорость поступления субстрата, сут−1; ƒ - коэффициент скорости пре-образования питательных веществ субстрата в биогаз, м3/(сут⋅кг/м3); a и b - эмпи-рические коэффициенты, м3/кг.При этом предполагается, что интенсивность перемешивания позволяет пре-небречь пространственной неоднородностью концентраций. Также предполагает-ся, что концентрация соответствующих бактерий в поступающем субстрате пре-небрежимо мала.Особенностью системы (1) является отсутствие переменной V в правой части.Поэтому третье уравнение можно рассматривать независимо от остальных. Удоб-но ввести величину скорости выхода биогазаw= dV =ƒX.dt(3)Биогазовая установка может работать в различных режимах. При периодиче-ском режиме происходит однократное наполнение метантенка и его полное опо-рожнение по завершении периода ферментации. При непрерывном режиме осу-ществляется непрерывная подача новой порции субстрата и одновременно удале-ние переработанной порции субстрата.В модели (1) случаю периодического режима подачи субстрата соответствуетp = 0 , случаю непрерывного режима - p > 0 .Относительная скорость поступления субстрата определяется выражениемp 1 dQQ dt= , (4)где Q - объем субстрата в метантенке (при полной загрузке метантенка объемсубстрата равен объему метантенка и постоянен); dQdt- абсолютная скорость по-ступления субстрата.В табл. 1 представлены оценки параметров математической модели (1), полу-ченные авторами по экспериментальным данным для мезофильной среды при пе-риодическом режиме подачи субстрата [4].Т а б л и ц а 1Оценки коэффициентов модели№ Источник сырьяп/п Коэффициент птицефабрики свинокомплексы фермы КРС1 ƒ1 0,821 0,484 0,3592 ƒ2 0,140 0,100 0,0883 a 81,699 30,187 15,4144 b 32,628 21,253 16,3355 ƒ 8,428 7,844 6,2806 ƒ 0,847 0,751 0,6582. Исследование стационарных решений математической моделиДля получения стабильного выхода биогаза в течение длительного промежут-ка времени требуется найти стационарные решения (точки покоя) системы (1) изначения скорости подачи субстрата p , соответствующие асимптотической ус-тойчивости системы для непрерывного режима ( p > 0 ).Для нахождения точек покоя правые части системы (1) приравниваются нулю:1 2 0L bp Xa L b L⎛⎜⎝ƒ+ − ƒ+ − ⎞⎟⎠ =; (5)10 0LpL pL Xa Lƒƒ− − =+. (6)При X = 0 первая точка покоя имеет вида) X*=0, L* =L0. (7)Полагая равным нулю левый сомножитель в (5), после умножения на общийзнаменатель получается квадратное уравнение относительно L, решение которогопозволяет получить вторую и третью точки покоя (выражая X из (6)):б)( )( ) ( ) ( )( )0 1 21 1* ** ,** 2p a L L L p a b b DX LL p+ − + − ƒ −ƒ += =ƒƒ ƒ −; (8)в)( )( ) ( ) ( )( )0 1 21 1* ** ,** 2p a L L L p a b b DX LL p+ − + − ƒ −ƒ −= =ƒƒ ƒ −, (9)где дискриминант( ( ) ( ))2D= bƒ1−ƒ2 +p a−b +4ƒ1ƒ2ab (10)неотрицателен при неотрицательных значениях параметров.Замена X =X

Скачать электронную версию публикации