Specific character of disk motion on the rheologicalground.pdf Реологические модели находят широкое применение при анализе работы кон-струкции из синтетических материалов. К достоинствам применения реологиче-ских моделей следует отнести относительную простоту их математического опи-сания, поскольку уравнения движения в основном выражаются в форме обыкно-венных дифференциальных уравнений. Теоретически и экспериментально доказа-но [1], что реологическое тело Кельвина - Фойхта наиболее корректно описываетприроду несовершенной упругости при стационарных и нестационарных колеба-ниях неметаллических материалов. Но, к сожалению, вопрос построения уравне-ний Лагранжа для анализа гироскопических систем с упруго-вязкими элементамимодели Кельвина в литературе практически не освещался. При составлении урав-нений Лагранжа в такого рода системах обычно вводят функцию Релея с полнойили неполной диссипацией или поправку на рассеяние энергии в форме нелиней-ной функции, учитывающей гистерезисные потери.Как показывает обзор литературы [1−4], анализ устойчивости диска на реоло-гическом основании тела Кельвина отсутствует. Поэтому проведём анализ устой-чивости движения диска на основании Кельвина.Рассмотрим движение однородного кругового жесткого диска массой М и ра-диусом r по вязкоупругому основанию, наделенному деформационно-демпфи-рующими свойствами, отвечающими физической модели Кельвина, и работаю-щему совместно с безмассовой оболочкой-мембраной с конечной жесткостью с1на растяжение. Предполагается, что основание имеет точечный контакт с диском,причем силы взаимодействия сводятся к силе, приложенной в точке касания ивертикально направленной. Силовое взаимодействие между диском и основанием,вообще говоря, сводится к реологической реакции Р и моменту трения Мтр, таккак контакт колеса и основания с учетом их деформаций осуществляется по неко-торой малой поверхности контакта. Приложив их к диску, образуем модель дискас точечным контактом. Но как показано в работе автора [2], модуль момента тре-ния убывает по экспоненциальному закону - релаксационной кривой, асимптоти-чески приближаясь к постоянной, близкой к нулю, а вертикальная деформацияоснования при надлежащем выборе эксплуатационных параметров основанияСпецифика движения диска на реологическом основании 69может быть пренебреженно малой. Поэтому решаем задачу в предположении, чтокривизна линии контакта основания и диска меньше кривизны диска. Тогда спра-ведлива гипотеза о точечном контакте диска с основанием.Движение диска отнесем к неподвижной системе координат О ƒƒƒ (рис. 1) сначалом в точке О в опорной плоскости. Ось ς направлена вертикально вверх.С точкой касания диска D свяжем полуподвижные оси Кёнига Dƒ*ƒ*ƒ* - парал-лельные осям 0ƒƒƒ и движущиеся поступательно. Неизменно с центром дискасвяжем систему координат Сxyz , ось z направлена по нормали к плоскости дис-ка. За обобщенные координаты приняты координаты центра масс диска ƒc , ƒc ,ƒc , углы Эйлера ƒ , ƒ , ϕ , а также ƒ - вертикальная координата точки касаниядиска с основанием. Имеет место соотношение ƒc = ƒ + r sin ƒ .ƒƒ ƒƒzƒ .ϕƒƒƒ .ƒ .ϕ .Cƒ .ƒ .ƒ y ϕxРис. 1. Принятые системы отсчета и угловые координаты дискаУравнения связей получим из равенства скоростей точки диска и точки осно-вания в точке касанияVD=VC+ƒCD, (1)где VD =(Vƒ,Vƒ,Vƒ) - вектор скорости деформации точки основания, совпадаю-щей с точкой касания диска, в нашем случае: 0, V V V ƒ ƒ ƒ = = =ƒ

Скачать электронную версию публикации