On the loss of stability of a rod in a cavitation bubble when entering into water through a barrier.pdf При движении в жидкости удлиненного затупленного осесимметричного тела с большой скоростью вокруг тела образуется кавитационный пузырь [1]. Поэтому, фактически, вся сила сопротивления жидкости оказывается приложенной к поверхности затупления. Величину силы сопротивления можно вычислить по экспериментальной формуле [1] (1) 5V2 F = 0,82SM (1 + ст) где SM - площадь затупления Миделя; 5 - плотность жидкости; V - скорость - число кавитации; р - давление на бесконечности; P0 2(Pq -Po) 5V 2 стержня; ст = - - давление в каверне. Из-за силы сопротивления движение тела замедляется с ускорением: а --— (2) Рис. 1. l x 0 По закону Ньютона Fx = - amx , где mx - масса тела, находящегося правее координаты x. Эта сила аналогична силам гравитации, действующим на тело, опертое на твердую поверхность. m где m - масса тела. Если замедление всех частей тела происходит с одним и тем же ускорением а, то в произвольном сечении тела с координатой x возникает продольная сила Fx , обеспечивающая замедление части стержня, находящейся правее указанной координаты (рис. 1). Задача о потере устойчивости осесимметричного стержня в поле сил тяжести рассмотрена в [2] на основе подхода, предложенном впервые Эйлером. При её решении рассматривается стационарное уравнение слабого изгиба стержня в отсутствии изгибающих сил d 2Y d1 dY_ dx E -I (3) = dx dx dx , nR4( x) в котором I =- - момент инерции стержня в сечении x; R(x) - радиус 4 стержня переменного сечения; E - модуль упругости; Fx - введенная выше сила напряжения, действующая в сечении x; Y(x) - малое отклонение стержня от положения равновесия. В [2] уравнение (3) решалось с условием закрепления опертого конца (Y = 0,Y = 0). На свободном конце предполагалось отсутствие моментов и срезывающих сил, которые приводят к равенствам Y" = 0, Y= 0. При отсутствии поперечных внешних изгибающих усилий решение уравнения (3) с названными граничными условиями всегда имеет тривиальное решение Y(x) = 0 , соответствующее стержню, остающемуся прямолинейным под воздействием продольной силы. Это решение является устойчивым до тех пор, пока сжимающая сила F меньше некоторого критического значения Fкр. При достижении величины усилия F = F решение задачи (3) становится не единственным. На практике такая неединственность приводит к потере устойчивости. В данном разделе методом Эйлера исследуется задача об устойчивости стержня при его входе в воду с большой скоростью через тонкую преграду. Эта задача является актуальной для изучения высокоскоростного движения тел в воде. При входе в воду метаемых тел с большой скоростью исследователи наблюдали деформацию их головной части [3] (рис. 2). Деформация может стать ограничением для высокоскоростного подводного метания и её причины заслуживают отдельного изучения. Рис. 2 На первом этапе задача решалась для цилиндрического стержня в постановке, показанной на рис. 3. Г 2 x = 0 Рис. 3 В момент рассмотрения стержень 1 проникает через преграду 2 в водную среду 3. Задний конец стержня находится в отверстии преграды, которая препятствует его перемещению в направлении, перпендикулярном вектору скорости V: Y'=0 = 0 . Кроме того, предположим, что стержень при малых отклонениях его формы может свободно поворачиваться в отверстии как на шарнире. Данное предположение позволяет поставить еще одно граничное условие Y'= 0 = 0 (см. [2]). На свободном конце стержня в отсутствие моментов и срезывающих сил примем, что Y'=l = 0, Y'=, = 0 . Для цилиндрического стержня уравнение (3) принимает вид d 4Y dx 4 где р - плотность вещества. Оно имеет интеграл d 3Y dx3 .£^2 d (i - x = 0, EI dx dx pQR7 d_(i-x)dY = c. EI dx dx (4) Полагая x = l, с учетом условия Y'=l = 0 находим, что C = 0. Введем новую независимую переменную dY dx x новую функцию u = и обозначим x = l aJ_(Z) + PJ_(Z) u = Z3 3 3 где Z = ~ [Q(1 - x)3 ]2; J _ (Z), J_ (Z) - функции Бесселя. Граничные условия Y'=l = 0, Y'=l = 0 для функции u(Z) переходят в условия 1 du z0 = 34q и — 3 dx = u'zZ3 = 0 при Z = 0. Условие x=1 Y'=l = u'x=_ = 0 для функции u выполняется автоматически в силу (5). При Z ^ 0 3 uZ Z3 = в-. Поэтому, для того чтобы удовлетворить граничному условию в г (_+f точке Z = 0, нужно положить в = 0 . Следовательно, функция u(Z) имеет вид _ u (Z) = aZ3 J-_(Z). 3 Подставляя сюда разложение J _ (Z) в ряд по Z , найдем 3 1 (-1k )23 fZ4" 1(Z) = a£ k=0 k! Г (k +1 - 3) ^ 2 Вычисляя производную u' (Z) и подставляя ее в граничное условие при x = 1, получим равенство для нахождения величины Z0 : Z , (Z 0)=f '-1k >23 1 fe 1 !k-,= 0. (6) k=1(k-1)!r(k +1 -3)V 2 ; Ряд, стоящий в левой части (6), очень быстро сходится. При его вычислении на ПК было найдено Z 0 = 3,3806. Выражая величину Q через Z0 и подставляя в Q значение ускорения a из формул (1) и (2), найдем критическую величину скорости Укр , при которой можно ожидать потерю устойчивости стержня: КР =J 9 Z oj CRS R • (7) В качестве примера рассчитаем критическую скорость медного стержня радиуса R = 1,7 мм и длиной 55 мм в воде. Полагая CR = 0,83, р = 1000кг/м3, E = 0,9-1011 Па , найдем Vкр = 1119м/с. Рассмотрим далее при тех же граничных условиях устойчивость стержня, имеющего форму усеченного конуса высоты l с радиусами оснований R0 и г0. Для такого конуса момент инерции du - = uZ dx Z x=0 Y x= = W= а сила (1 - x )3 (1 - x) - (1 --f)(1 - x )2 + (1 --0-) R0 R0 Для таких функций искать аналитическое точное решение уравнения (3) весьма затруднительно. Поэтому, авторами для нахождения критических параметров в случае усеченного конуса применялся приближенный метод Бубнова - Галеркина. С целью обоснования применимости метода Бубнова - Галеркина к решению поставленной задачи первоначально он был опробован на решении задачи для цилиндрического стержня, решение которой приведено выше. В качестве линейно-независимых базовых функций были выбраны функции uk (x) = cos кп(1 - x), автоматически удовлетворяющие граничным условиям u'(0) = 0, u'(1) = 0. Приближенное решение задачи для уравнения L[u] = 0, где L[u] = u'' + Q(1 - x)u , разыскивалось в виде отрезка ряда Фурье u = 2 a0 + a cos п(1 - x) + a2 cos 2п(1 - x). anR^l Зр 0 \2 Fx = (8) 4 '=п R4 1 - (1 -^4(1 - x) После подстановки этого отрезка в (5) для нахождения коэффициентов ai использовалась система функционалов E ukdx = 0, к = 0,1,2 . 2 Z aiui L i=0 IL (9) После вычисления интегралов (9) и приведения подобных была получена система однородных линейных уравнений a0 +—a1 = 0, п2 Q a, +f Q - 2П1 4 I-A 1 Q4 10 Q a. +---- a2 = 0 . .4 п41 2 J 1 9 п2 2 Из условия разрешимости этой системы для значения екр получилось квадратное уравнение: 1 262 1 ^ Q2 f 5 п2 16Q +п4 0 екр -|-п--7 I екр +п = 0. Был взят его меньший корень QE? = 25,664. Так как Z0 = -j-Jекр , то получим Z0 = 3,3801. Это число только в пятом знаке отличается от ранее найденного точного значения Z0 = 3,3806 . Полученный результат послужит основанием для применения метода Бубнова-Галеркина к решению уравнения (3) с коэффициентами (8) для конического dY стержня. В результате однократного интегрирования и замены — = u уравнение dx (3) было приведено к виду 1 - (1 -^4(1 - x) R0 d dx du dx (1 - x) - (1 --f)(1 - x )2 + (1 --f)2 (1 - x)3 +Q u = 0, (10) R R0 pauRgl3 где Q = f п^ V E Задача для уравнения (10) с граничными условиями u '(0) = 0, u' (1) = 0 решалась методом Бубнова - Галеркина с теми же базисными функциями, которые применялись при решении задачи для цилиндрического стержня. При этом интегралы, входящие в систему (9), вычислялись численно. Критическая величина Q, как и в первом случае цилиндрического стержня, находилась из условия разr решимости линейных уравнений для коэффициентов ai. Для случая — = 0,3 бы- R0 ла найдена величина Q = 2,760. Ускорение a находилось из (2) для силы F из (1) и массы усеченного конуса r0 . 1 „ r0 R0 3 R0 После подстановки a в выражение для Q было получено 1 -(1 -jL) +Л(1 -^L)2 m = p7iR01 2CR 5u2 l2 | R0 Qкp =■ "R кр 1 - (1 +- (1 --0-) 0 \2 ER2 R0 R0 Из этого соотношения находилась критическая скорость E Q R02 кр 2 (П) E = 9-10п Па , 1 - (1 - + Л(1 - ZiL)2 R0 3 R0 u = кр Cr 5 r0l Для медного стержня с r0 = 0,00075 м , R0 = 0,0026 м, 5 = 1000 кг/м , CR = 0,83 по формуле (11) получим u = 1290 м/с. Проведенное исследование объясняет экспериментальные результаты по деформации стержней при их входе в воду через преграду со скоростями, превышающими 1000 м/с.

Скачать электронную версию публикации