The problem of optimal control for moving sources for systems with distributed parameters.pdf Несмотря на прикладную важность задач с управлениями подвижных источников, они в настоящее время наиболее мало изучены [1, 5]. Для некоторых классов линейных и нелинейных краевых задач, в которых участвуют импульсные функции, исследованы вопросы существования и единственности обобщенного решения. В частности в [5] эти вопросы исследованы при условии, что управление возможно только интенсивностью неподвижных источников. В указанных практических примерах нельзя ограничиться только рассмотрением систем с распределенными параметрами. Приходится учитывать вспомогательные элементы, без которых невозможно управлять процессом. Эти элементы обычно имеют сосредоточенные параметры. Поведение таких систем описывается совокупностью дифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных при начальных и граничных условиях. В настоящей работе рассматривается задача оптимального управления подвижными источниками, заданная параболическим уравнением и обыкновенным дифференциальным уравнением при начальных и граничных условиях. Для этой задачи будет доказана теорема существования и единственности решения, затем получены необходимые условия оптимальности в виде точечного и интегрального принципов максимума. 1. Постановка задачи Пусть l > 0, T > 0 - заданные числа, 0 < х < l,0 < t < T, Dt = (0, l) х (0, t), D = D-t . В дальнейшем понадобятся функциональные пространства W21(QT), V2(DT), V21,q(Dt),H1(0,T), которые введены, например, в [4]. Пусть состояние управляемого процесса описывается функциями u(х, t) и s(t). Будем предполагать, что внутри области DT функция u( х, t) удовлетворяет следующему параболическому уравнению: n ut = «2uxx + Z Рк(t )8( X - sk(t ^ (1) к=1 с начальным и граничными условиями u(x, o) = ф(x), 0 < x 0 - некоторые постоянные. Но тогда правую часть неравенства (16) можно ограничить сверху следующим образом: 2Мx;)|l2(q,i) + a21|Aux(x.;)|L2(Q;) < с41L2(;1,;2) ||Au||vi,0(Q). (П) при AS ^ 0, где c4 > 0 - некоторая константа. Как и в работе [2, II llL2(;1,;2) с. 166-168], для произвольного t e [0,T] разобьем отрезок [0,t] на конечное число подотрезков, на каждом из которых выполняется неравенство (17). Затем, сложив полученные неравенства для каждого подотрезка, получим 1lAu(xoilL2(0,l) + a21lAux(xt)lL2(ot) < 1|AS|l2(q t)||Аи|Ц,0(О), откуда вытекает неравенство (13). Тогда ||Au||Vi,Q(q) ^ 0 при ||AS||L (qt) ^ 0 . Отсюда и из теоремы о следах [8] получим, что ||Au(x,T(Ql) ^0 при ||AS||L (Qt) ^0 . Приращение функционала I (S) представимо в виде T u( x T ) - y( x)]Au ( x T )dx + \\Au( x T),, llL2(Q,l )• JQ (S + AS) - JQ (S) = 2 j [u( x, T) - y( x)]Au (x, T )dx + ||Au( x, T )||L Q Отсюда и из того, что ||Au(x,T(Ql) ^ 0 при ||AS||L (qt) ^ 0 , следует непрерывность функционала JQ (S). Функционал JQ (S) снизу ограничен и в силу доказанного является непрерывным в V . Кроме того, H - равномерно выпуклое и рефлексивно банахово пространство [7]. Тогда из теоремы Бидо, приведенной в работе [9], следует существование плотного подмножества K пространства Н, такого, что для любого ю = (p(t),S(t)) e H при ai > 0, i = 1,2, задача (1) - (6) имеет единственное решение. Теорема доказана. 3. Необходимое условие оптимальности Пусть у = у(x, t) - решение из Vl1,q(Q) сопряженной задачи V + a Vxx = 0, (x, t) e Qt ; (18) VxU = Vxlx=l = 0, 0 < t < T ; (19) x,T) = 2[u(x,T) - y(x)], 0 < x < l, (20) где u(x,T)- значение при t = T решения редуцированной задачи (1) - (6), и пусть qk (t) - решение из Hj(0, T) сопряженной задачи df _ qk (t) = -d4k (t) + Pk (t)Vx(sk (t), t), 0 0 , для которых и(t, s*(t), у*(х, t), q*(t), S) - и(t, s*(t), у*(х, t), q*(t), S*) > p > 0 , (34) где h > 0 - некоторое число, S = (p* + hAp, S* + hAS), AS = (Ap, AS). Если в (34) учесть формулу (24), то получим h (J'(S), AS^

Скачать электронную версию публикации