Asymptotic expansion of the solution of a singularly perturbed ordinary second-order differential equation with two turning points.pdf При исследовании процессов, происходящих в гидродинамике, в теории колебаний, в квантовой механике, при изучении явлений дифракции получаются математические модели, которые описываются дифференциальными уравнениями второго порядка с точками поворота. Задачи с двумя точками поворота представляют интерес по двум причинам. Одна из них - это связь с уравнением Вебера, решениями которого являются так называемые функции параболического цилиндра. Асимптотическое поведение функций параболического цилиндра представляет интерес во многих физических задачах. Вторая причина, по которой уравнение (1) заслуживает внимания, состоит в том, что это простейшее уравнение, имеющее две точки поворота. Следовательно, если бы асимптотические свойства (1) были основательно изучены, можно было бы свести асимптотическое исследование других уравнений с двумя точками поворота к этому уравнению [3]. Дифференциальные уравнения с точками поворота изучались различными методами. Метод ВБК (Вентцеля - Бриллюэна - Крамера) изучения асимптотического поведения решений задач с точками поворота состоит в том, что производится замена уравнения в окрестности точки поворота уравнением, решение которого находится с помощью специальных функций. Затем это решение «склеивается» с решением в остальной части промежутка. Асимптотические методы являются мощным средством исследования краевых задач для дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Особенно важным этот подход становится при изучении задач сингулярной теории возмущений. В данной статье мы используем обобщенный метод погранфункций [1, 2]. Рассмотрим следующую краевую задачу: (1) (2) ey"(х) - х (1 - х) q(х)y(х) = f (х), х e (0,1), y(0) = а, y(1) = Р, где 0 1. Отсюда однозначно определяются все uk (x): uo (x) = -uk (x) = k > 1. x (1 - x) x (1 - x) Однако на обоих концах рассматриваемого отрезка т.е. при х=0, х=1 все эти функции, вообще говоря, имеют особенности: uk (x) = x-3k-1 (1 - x)-3k-1 Ck (x), Ck (x) e сад,1]. (4) Таким образом, задача (1), (2) является бисингулярной - коэффициенты ее внешнего разложения имеют нарастающие особенности при х = 0, х = 1, иногда эти точки называют точками поворота [5]. В окрестности этих точек ряд (3) не только не приближает решение y(x,e), но даже теряет асимптотический характер. Таким образом, внешнее решение задачи (1), (2) представляется в виде f n Л , (5) x (1 - x) где Ck (x) e с[ад,1]. CQ (x) +--C1 (x) +... +-— Cn (x) +... 0 V ' t (Л \\3 1 V ' it i \\3n n v / (x(1 - x)) (x(1 - x)) U = - 1 Из (5) вытекает, что оно является асимптотическим на отрезке J (e) = [ey ,1 -eY], 0

Скачать электронную версию публикации