On some varieties of Leibniz-Poisson algebras with extreme properties.pdf Определим алгебру Лейбница - Пуассона следующим образом. Алгебру A = A(+, ■, {,}, K) над полем K назовем алгеброй Лейбница - Пуассона, если A(+, ■, K) - ассоциативная коммутативная алгебра с единицей, A(+,{,}, K) - алгебра Лейбница с операцией умножения {,} и для любых a, b, c ЕA выполняются правила: {a ■ b, c} = a ■ {b, c} + {a, c} ■ b, {c, a ■ b} = a ■ {c, b} + {c, a} ■ b. При этом алгебра Лейбница A(+,{,}, K) над полем K определяется тождеством {{x,y}, z} = {{x, z},y}+{x,{y, z}}. Договоримся опускать скобки {,} при их левонормированной расстановке, т.е. {{ x1, x2}, x3} = { x1, x2, x3}. Пусть L(X) - свободная алгебра Лейбница, где X = {xb x2,...} - счетное множество свободных образующих. Пусть также F(X) - свободная алгебра Лейбница -Пуассона. Обозначим через Pn пространство в F(X), состоящее из полилинейных элементов степени n от переменных xb..., xn, а через PП пространство полилинейных элементов степени n в свободной алгебре Лейбница L(X). Обозначим через L>2(X) подалгебру в свободной алгебре Лейбница L(X), каждый элемент которой является линейной комбинацией мономов степени > 2. Пусть V - некоторое многообразие алгебр Лейбница - Пуассона, Id(V) - идеал тождеств многообразия V. Обозначим Pn(V) = P/(Pnnid(V)), cn(V) = dim Pn(V). Соответственно, если VL - некоторое многообразие алгебр Лейбница, то PLn(V) = PLr/(PLnnid(VL)), V) = dim PLn(VL). Предложение ([1]). Пусть AL - некоторая ненулевая алгебра Лейбница с умножением [,] над бесконечным полем K. Рассмотрим векторное пространство A = Al©K, в котором определим операции • и {,} следующим образом: (a + a) • (b + в) = (Pa + ab) + оф, {a + a, b + P} = [a, b], a, b Е AL, a, P Е K. (1) Тогда полученная алгебра A(+,,{,},K) будет являться алгеброй Лейбница - Пуассона. Если многообразие V имеет экспоненциальный рост, то введем в рассмотрение нижнюю и верхнюю экспоненты: EXP(V) = limn^ ф~(р), EXP(V) = lim n^ !fi~(pj. Если имеет место равенство EXP(V) = EXP(V), то будем обозначать EXP(V). На сегодняшний день известны всего четыре многообразия алгебр Лейбница почти полиномиального роста. Для однородности записи обозначим их через V1, V 2 , V 3 , V 4 . Многообразие V1 определяется тождеством [хь[х2,х3],[х4,х5]]=0 (см. [2]). Пусть G - бесконечномерная алгебра Грассмана с умножением Л над произвольным полем K. На векторном пространстве G =GxG определим операцию умножения [,]: [(хь х2), (y1, y2)] = ([Х1, y1], х2Лу1), где [х1, y1] = х1Лу1 - у1Лх1, (х1, х2), (y1, y2) £ G. Полученная алгебра G является алгеброй Лейбница, которая порождает многообразие V2. В работе [3] показано, что многообразие V 2 порождается тождествами [хь [х2, [хэ, х4]]] = 0, [z, [х, y], [х, y]] = 0 и является наименьшим многообразием алгебр Лейбница, в котором не выполняется ни одно лейбницево стандартное тождество, то есть тождества вида Xaesn (-1)а[х-(1),...,х-(п}]= 0. Многообразия V3 и V4 определяются следующим образом [4]. Рассмотрим кольцо многочленов R от переменной t как алгебру Лейбница с нулевым умножением. Алгебру R будем считать правым ^-модулем алгебры Гейзенберга N3 со следующим действием: ^ fit)a = f(0, f(t)b = tf(t), ft)c = ft). Обозначим через N прямую сумму алгебр N3 и R. Умножение в N задается так: (х + ft))(y + g(t)) = хУ + f(t)y, где х, y £N3, ft), g(t) £ R. Алгебра Лейбница N порождает многообразие V 3. Зададим действие элементов двумерной метабелевой алгебры Ли M2 на элементы R: ft)e = t/(t), ft)h = tft). Пусть M - прямая сумма алгебр N3 и R с умножением (m + ft))(m2 + g(t)) = mm + ft)m2, где m1,m2 £ M2, f(t), g(t) £R. Алгебра Лейбница M порождает многообразие V4. Обозначим через G © K, N © K и M © K алгебры Лейбница - Пуассона с ~ p ~ p ~ p операциями (1), а через V2 , F3 и V4 - многообразия алгебр Лейбница - Пуассона, порожденные соответственно алгебрами G © K, N © K и M © K . Также ~ p обозначим через V1 многообразие алгебр Лейбница - Пуассона, порожденное тождествами (хь {х2, х3>, {х4, х5>> = 0, (хь х2}-{х3, х4> = 0. ~ P ~ P ~ P ~ P Теорема 1. EXP(V1 )=3, EXP(V2 )=3, EXP(V3 )=4, EXP(Va )=3. Пусть V- не- ~ p которое собственное подмногообразие одного из многообразий Vi i=1,...,4. Тогда рост многообразия V либо ограничен полиномом, либо найдется такое P, что для любого n будет выполнено неравенство 2n-1 < cn(V) < nP2n. (2) Доказательство. Для экспонент рассмотренных выше многообразий алгебр Лейбница почти полиномиального роста выполнены следующие равенства: EXP(Vi)=2 [2], £XP(F2)=2 [3], £XP(Fs)=3 и £XP(F4)=2 [4]. Поэтому значения ~ p экспонент многообразий Vi , i = 1,...,4, следуют из данных равенств и теоремы 2 работы [5]. Пусть V - некоторое собственное подмногообразие одного из многообразий ~ p Vi , i=1,...,4. Тогда идеал тождеств Id(V) П L> 2(X) определяет некоторое собственное подмногообразие в Vi, которое будет иметь рост не выше полиномиального. Поэтому, с учетом теоремы 2 работы [5] и теоремы 3 работы [1], либо рост многообразия V будет ограничен полиномом, либо для него будет выполнено двойное неравенство (2). ~ p Теорема 2. Многообразие V2 порождается тождествами {xb {x2, {x3, x4}}} = 0, {z, {x, y}, {x, y}} = 0, {xb x2}^{xs, x4} = 0 и является наименьшим многообразием алгебр Лейбница - Пуассона, в котором не выполнено ни одно лейбницево стандартное тождество. Доказательство следует из работ [1, 3, 5].

Скачать электронную версию публикации