On application of the variable separation method to mathematical physics equations containing homogeneous functions of derivatives.pdf Метод разделения переменных (РП) является одним из наиболее универсальных методов решения линейных и нелинейных уравнений в частных производных [1], который позволяет свести исходное уравнение к обыкновенным дифференциальным уравнениям, а во многих случаях - получить точные решения. В данной работе этот метод применяется к решению уравнений, содержащих однородные функции от производных. 1. Уравнение, содержащее однородную функцию Рассмотрим уравнение относительно неизвестной функции u(t, x1,..., xN) ди ди Ltu= F| — ,..,— |. (1) дх1 dxN M д m Здесь Lt = ^ am (t)--линейный дифференциальный оператор по переменной m=1 д t; F - некоторая однородная функция с показателем однородности r (r>0), т.е. для любых a, p1,., pN выполняется соотношение [2] F(ар^..., apN) = аrF(, Pn). (2) Применяя метод РП к уравнению (1), решение будем искать в виде u(t,Х1,...,Xn) = T0(t) + T^t)V(x1,...,Xn). (3) Подставив выражение (3) в уравнение (1) и используя свойство однородности (2), преобразуем уравнение (1) к виду LtT0(t) + V(x,...,xn)LTt)-[T^XF^, ...,| = 0. (4) V дх1 ^N ) Разделим обе части уравнения (4) на [T1(t)]r и продифференцируем поочередно по переменным хi (i = 1,...,N), тогда получаем dV -±FfdV,...Д_' |= 0. (5) [Tj(t)]r dxt dxt dx1 Уравнение (5) может быть удовлетворено в следующих частных случаях: Случай 1: LtT\ (t) -LLT = X , (6) [T,(t )]r где -некоторая постоянная. Тогда из уравнения (4) следует LtT0(t) J dV dV - = FI-,...,-|-XV(xj,..., xN). (7) [T,(t)]r ^ dXN 1 V1 N' W Согласно известной схеме метода РП [1], уравнение (7) может быть удовлетворено, если обе его части равны некоторой постоянной ц, откуда получаем уравнения для функций T0, V LtT0(t) -^[Tj (t)]r =0; (8а) Г dV dV ^ Fl —, ..., — |-XV(xj,...,Xn)-ц = 0. (8б) V-x dxN) Уравнение (8а) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) относительно функции T0 (t) . Уравнение (8б) путем линейной замены неизвестной функции V = V +— преобразуем к виду X f dV dV ^ Fl--— |-XV (Х1,..., Xn ) = 0. (9) V дХ1 dxN ) Для решения уравнения (9) разделим его на V и используем свойство однородности (2). В результате уравнение (9) преобразуем к виду FiV-1r ,...,V-1r dVV-|-X= 0. (10) V -х dXn ) Предположим вначале, что тф-1 и выполним замену неизвестной функции V по формуле w = VР/р , (11) где в = (r-1)/ r. Тогда уравнение (10) запишется как F f-W,..., dW ^-X= 0. (12) V-x -Xn ) Решение уравнения (12) будем искать в виде N W(X1,...,Xn) =W(z), z = £с,х, . (13) i =1 Подставляя функцию (13) в уравнение (12) и используя свойство однородности (2), нетрудно получить следующее решение: W(z) = B(z + со), B = | ——--- | , (14) — (с1,..., cn ), с0 - произвольная постоянная. Возвращаясь к неизвестной функции V , решение уравнения (9) запишем как F(X1,..., Xn) = (PB)1/p(z + со )VP . (15) Решение (15) имеет место при РФ0 (гф1). В случае Р=0 (r=1) нетрудно получить F(x1,...,Xn) = expI X--(z + C0)|. (16) IF (с\,..., cn ) J Учитывая выполненную выше замену функции V = V +—, решение (3) можно X представить в виде u(t,Х1,..., Xn) = 70 (t) + T (t) V(Х1,...,Xn), (17) где функция T0 (t) = T0 (t) -—T1 (t) удовлетворяет уравнению X LT0(t) = 0. (17а) Случай 2: LtT1(t) = 0. (18) Тогда уравнение (4) преобразуется следующим образом: L7)(t) JdV dV = F|-, ...,-|. (19) [T1(t )]r ^ Dxn Из (19) получаем уравнения для функций T0, V : LtT0(t) =X[T1(t)]r; (20а) ( dV dV Л F I —,..., — |-X = 0. (206) ^dx, 3XN J При этом вначале необходимо определить функцию T1(t) из уравнения (18), а затем подставить ее в правую часть уравнения (20а). Уравнение (20б) с точностью до обозначений совпадает с уравнением (12), поэтому его решение определяется формулой вида (14). Если X=0, то нетрудно убедиться, что решение уравнения (206) V = Ф(z), где z определяется формулой (13), Ф(z) - произвольная дифференцируемая функция, а постоянные с, удовлетворяют условию F (c1,..., cN) = 0. Таким образом, в первом частном случае решение уравнения (1) с однородной функцией в правой части можно представить в виде (17), где T1(t) удовлетворяет ОДУ (6), T0(t) удовлетворяет ОДУ (17а), а V(х1,..., xN) - уравнению (9), решение которого дается формулами (15) или (16). Во втором частном случае T1(t) определяется из уравнения (18), функции T0,V определяются из уравнений (20а), (20б) соответственно, причем решение последнего при X Ф 0 дается формулой вида (14), а при X = 0 - формулой V = Ф(z) с дополнительным условием F(cj,..., cN) = 0. Пример. Рассмотрим уравнение du N ( du = Z a V^X С помощью метода РП, согласно изложенному выше, нетрудно получить решения: r-1 ( (z + Co)r + A0 (при r Ф 1); 1) u(t, x1,..., xN) = (to -1)SaiC i =1 1 ( x ^ r 2) u(t, x^..., Xn ) = Xt + —- (z + Co); Z acir V 1=1 / 3) u(t, xj,..., xN) =Ф( z), причем A0, t0, c0, X, ci - произвольные постоянные, Ф - произвольная дифференцируемая функция, z определяется формулой (13). Решения 1), 2) применимы в N случае, если постоянные ci удовлетворяют соотношению Z aicri Ф 0 ; решение 3) i =1 - в случае, если постоянные ci удовлетворяют соотношению Z aicri = 0. i =1 При r = 1 данное уравнение является линейным и имеет общее решение вида [3] u(t, Xj,..., Xn ) =Ф| z + t Z ac I. 2. Уравнение, содержащее сумму однородных функций Рассмотрим теперь случай, когда правая часть исходного уравнения представляет собой сумму K однородных функций с различными показателями однородности rk . Пусть множество значений / = {1,...,N} индекса i, нумерующего независимые пространственные переменные, разбито на K непересекающихся подмножеств 1к (k =1,...,K). Тогда вектор переменных X = {xj,...,xN} можно разбить на K непересекающихся подвекторов Xk = {xi} ie/ . Введем также соответствующие векторы производных и рассмотрим уравнение вида dxi i > ielk дХ. Ltu=Z Fk (дХ: (21) где функции Fk удовлетворяют соотношению однородности вида (2) с показателями однородности rk (rk >0), причем вектор аргументов {pl,...,pN} заменяется на подвектор {pi }ie/ . Применяя метод РП к уравнению (21), ищем решение в виде u(t, X) = T0(f) + f^Tk (t)Vk (Xk). (22) k=1 Аналогично преобразованиям, выполненным в п.1, подставим выражение (22) в уравнение (21) и с учетом однородности функций Fk приводим его к виду LtT0(t) + £ Y k (t, Xk) = 0; (23) k=1 Yk (t,Xk) = Vk (Xk) LtTk (t) -[Tk (t)]rk Fk ||-lJ . (23а) Продифференцируем (23) по Xk и учтем, что левая часть уравнения (23) зависит от Xk только через Yk (t,Xk). Тогда с учетом (23а), приходим к соотношению LMLV -JL—kfeV0. (24) [Tk(t)]rk dXk dXk k [dXk J Аналогично п.1 рассмотрим частные случаи, в которых может быть удовлетворено это соотношение. Случай 1: LT (t) ■= Xk , (25) [Tk (t )]rk k где Xk Ф 0 - некоторая постоянная. Тогда соотношение (24) можно записать в виде 5 F f^VxkVk I = 0, (26) X I { dXk откуда следует уравнение для Vk : —k OV^-XkVk = — , (27) где —k - некоторая постоянная. С помощью замены функции Vk = Vk + — полу- X k чаем следующее уравнение: —k (fV^-Xk-k(Xk) = 0. (28) Решая его аналогично уравнению (9) из п.1, можно получить следующие выражения для Vk : В случае Pk Ф 0 (rk Ф 1): V7k(Xk) = (PkBk)1/Pk (zk + dk))Pk, zk = X c,Xi . (29a) В случае Pk = 0 (rk = 1): Vk (Xk) = exp (Bk (zk + dk)). (296) Здесь введены обозначения: Pk = (rk-1)/ rk, Bk =( —^7-1 k , (29в) VFk(Ck)J ci, dk -произвольные постоянные, Ск = { с1 } ie/ . Случай 2: LT (t) = 0. (30) [Tk (t )]rk k Тогда из (24) получаем уравнение для Vk : ,(§)=,. 0» Аналогично уравнению (12) решение уравнения (31) при Xk Ф 0 определяется формулой Vk (Xk) = Bk (zk + dk), zk = Z ciXi , (32) xi eXk где Bk определяется формулой (29в), ci, dk - произвольные постоянные. При Xk = 0 аналогично п.1 решение уравнения (31) определяется формулой Vk =Ф. (zk), (32а) где Фк - произвольная дифференцируемая функция, а вектор постоянных Сk = { с1 }ie/ должен удовлетворять условию —к (С.) = 0. (32б) Множество значений S ={1,.. ,,K} индекса к разделим на два непересекающихся подмножества Еь S2 следующим образом: если к eSJ (к eS2), то для данного значения k реализуется случай 1 (случай 2) соответственно. Тогда выражение (22) можно записать в виде u(t,X) = T0(t) + Z Tk(t)Vk(Xk) + Z Tk(t)Vk(Xk); (33) kesj kes 2 ?c(t) = W -Z^ (t). ( keHj Xk Для того чтобы получить уравнение для функции T0 (t), подставим выражение (33) в уравнение (21). Тогда, с учетом соотношений (25), (28), (30), (31), получим LT0(t) =ZX к [Tk (t)]rk. (34) kes 2 Таким образом, решение уравнения (21), содержащего сумму однородных функций, дается формулой (33). Функции Tk (t) при к eSJ (к eS2) являются решениями уравнений (25) и (30) соответственно, функция T0(t) - решением уравнения (34). Функции Vk (Xk) при k еЕ\ являются решениями уравнения (28) и определяются формулами (29а,б); функции Vk (Xk) при k еН2 являются решениями уравнения (31) и при Xk Ф 0 определяются формулой (32), а при Xk = 0 -формулой (32а) с дополнительным условием (32б). Пример. Рассмотрим уравнение du du du du + a. dt ЙХ, ЙХ dx. du дх\ j V J К V J V , Правая часть уравнения представляет собой сумму двух однородных функций с показателями однородности r\=2 и r2=1. Решая это уравнение методом РП, в соответствии с результатами данного раздела, получаем следующие решения: + a 1) u(t, X)=A0 + 2) u(t, X) = X2t + 3) u(t, X) = X\t + f M 2 z2 + d2 t + 4 2 2 a3 c3 + a 4 c4 j (z\ + d\)2 2 2 a3 c3 + a4 c4 z2 + d 2 2 2 a3 c3 + 04 c4 j t + 4 (z\ + d\) + exp X2 4(t0 -1)(a\c\4 + a2c2) X 2 (z2 + d2) 4(t0 -1)(a\c\2 + a2cl) J X\ (z\ + d\) + exp X2 ac? + a2 c2 4) u(t, X) = (X\ +X 2)t + X\ (z\ + d\) + к z2 + d 2); i ac2 + a2c2 2 2 a3 c3 + a 4 c4 (z\ + d\)2 . -——г—г+ф( z2); 4(t0 - t)(a\c\ + a2c2) 5) u(t, X) = 6) u(t, X) = X\t + X (z\ + d\) + Ф( z2); a\c\2 + a2c22 z2 + d2 t + i 2 2 a3 c3 + a 4 c 4 X 7) u(t,X) = Ф(z\) + exp jX 8) u(t, X) = X2t + Ф (z\) + ■( z2+d2); 2 9) u(t,X) =Ф\(z\) + Ф2 (z2). Здесь z\ = c\Х\ + c2x2, z2 = c3x3 + c4x4; A0,t0,c\,c2,c3,c4,d\,d2,X\,X2 - произвольные постоянные; Ф, Ф\, Ф2 - произвольные дифференцируемые функции своих аргументов. Решения 1) - 4) применимы при выполнении условий a\c\2 + a2c2 Ф 0, a3c2 + a4c42 Ф 0; решения 5), 6) - при выполнении условий a\c\2 + a2c2 Ф 0, a3c2 + a4c42 = 0; решения 7), 8) - при выполнении условий a\c\2 + a2c2 = 0, 2 2 2 2 2 2 a3c3 + a4c4 Ф 0 ; решение 9) - при условии a\c\ + a2c2 = 0, a3c3 + a4c4 = 0 . Заключение Таким образом, в данной работе методом разделения переменных получены решения уравнений в частных производных, содержащих одну или несколько однородных функций от производных первого порядка. Проанализирован вид решения для возможных частных случаев и приведены примеры применения полученных в работе соотношений.

Скачать электронную версию публикации