Optimization of calculations of plastic deformations in nonlinear problems of deformable solid mechanics.pdf Введение В основе теории пластического течения лежит соотношение, связывающее компоненты приращения пластических деформаций dej с поверхностью текучести F: dF dej =1 до- ' где 1 - скалярный множитель; о- - составляющие тензора напряжения. Соотношение (1) не интегрируется, то есть не сводится к конечному соотношению между компонентами напряжения и деформации, так как содержит неизвестный скалярный множитель 1, для определения которого нужно располагать дополнительным соотношением. Современная методика расчета пластических течений [1] предполагает построение упругопластической матрицы Dep, связывающей приращения напряжений и деформаций: do = Depde, (1) где Dep - упругопластическая матрица, вычисление которой проводят, используя диаграмму одноосного растяжения материала [1, 2]. Процедура установления зависимости (1) характеризуется трудоемкостью, которая связана с необходимостью нахождения упругопластической матрицы по экспериментальным данным на каждом шаге вычислений. К настоящему времени для определения накопленных пластических деформаций, напряжений и перемещений достаточно хорошо разработаны различные итерационные методы. Основные из них: метод переменной и касательной жесткости, метод начальных напряжений и начальных деформаций. Суть каждого из этих методов сводится к построению системы линейных уравнений вида МАм = АР + MpAm и решения полученной системы итерационным способом [1]: MAun = ЛР + MpAun-1, Au0 = 0, n = 1, 2, 3, ..., где M = §BTDBdV - упругая матрица жёсткости; Mp = ^>BTDpBdV - пластическая VV матрица жёсткости; ЛР - приращение нагрузки; Au - приращение перемещения; n - номер итерации; B - так называемая матрица градиентов, содержащая производные от перемещений. Методом начальных деформаций и напряжений вносят изменения в ЛР на каждой итерации: ЛР = JвтЛсdV , Лс = DЛs + Лс0 - для начальных напряжений, V С T Лс ЛР = JBDЛsdV , Лs = Лs0 + D - для начальных деформаций, V где Лс0 - приращение начальных напряжений; Лs0 - приращение начальных деформаций. Методом переменной и касательной жёсткости вносят изменения в матрицу упругой жёсткости M; в последнем случае расчёт ведут методом Ньютона - Рафсона. Итерационный процесс продолжают до тех пор, пока отличие искомых приращений на соседних итерациях не станет меньшим наперёд заданного малого числа. Можно выделить следующие трудности, с которыми сталкиваются исследователи при решении задач по теории пластического течения: - соотношение, связывающее компоненты приращения пластических деформаций с поверхностью текучести не интегрируется, то есть не сводится к конечному соотношению, так как содержит неизвестный скалярный множитель. - другая проблема в расчёте пластичности по теории течения состоит в том, что связь между напряжениями и деформациями присутствует лишь с момента достижения напряжениями поверхности текучести; следовательно, на каждом шаге расчёта необходимо изменять напряжения так, чтобы выполнялось условие текучести. - процедура установления зависимости между напряжениями и деформациями характеризуется трудоёмкостью, которая связана с необходимостью нахождения упругопластической матрицы по экспериментальным данным на каждом шаге вычислений. Методика проведения расчетов В работе [3] изложен альтернативный алгоритм вычисления пластических деформаций на основе решения системы нелинейных определяющих уравнений, состоящей из соотношений Прандтля - Рейса и условия пластичности Мизеса: dsij = Xsji, 0 (2) Ci - Ct = 0, где sp - компоненты девиатора напряжения; с,- - интенсивность напряжений; ct -предел текучести материала. Для решения системы нелинейных уравнений (2) обращаются к целевой функции, алгоритм работы которой использует начальные значения искомых величин и базируется на минимизации суммы квадратов входящих в систему функций методами Гаусса - Ньютона и Левенберга - Марквардта. Соответствующим обращением к данной функции можно управлять процессом поиска решений, в частности устанавливать максимальное количество обращений к функциям системы уравнений, устанавливать максимальное количество итераций, прекращать итерации при достижении требуемой точности значений функций. Предел текучести может быть рассчитан при обращении к экспериментально полученным кривым упрочнения для заданного уровня пластических деформаций, температуре и скорости деформации. В [4] описан способ аппроксимации кривых упрочнения параболической функцией oT = Aep2 + Bep + C, (3) где o и ep - напряжения и интенсивность пластических деформаций соответственно; A, B, C - определяемые коэффициенты, зависящие от скорости деформации и температуры. Последовательность решения задачи пластичности при заданных температур-но-скоростных условиях деформации следующая: 1) проверка условия пластичности Мизеса: Oi - Ot = 0; (4) 2) вычисление коэффициентов A, B, C аппроксимирующей функции (3). Для сталей 20 и 08Х22Н6Т расчет может быть проведен по формулам, указанным в [4]; 3) решение системы определяющих уравнений (2) относительно пластических деформаций. Переходя к конечно-разностной форме соотношений Прандтля - Рейса и учитывая формулу (4), система (3) принимает вид 'Ae-p ^^ - 1s - = 0, At oi - (Aep2 + Bep + C) = 0, где At - временной интервал, который исключается при переходе к безразмерным параметрам; 4) расчет предела текучести Ot как функции, аппроксимирующей кривые упрочнения для исследуемого материала, по формуле (4). Данное значение предела текучести используется для проверки условия пластичности для следующего шага расчета; 5) модификация глобального вектора нагрузки F с учетом наличия пластических деформаций и закрепления модели; 6) расчет глобальной матрицы жесткости М с учетом деформаций; 7) вычисление приращений узловых перемещений U путем решения (например, методом исключения Гаусса) системы линейных уравнений метода конечных элементов; 8) вычисление накопленных узловых перемещений Us; 9) расчет компонент вектора полных деформаций для конечных элементов: e = BUS, где B - матрица градиентов, содержащая производные от перемещений; 10) расчет упругих деформаций ee: ee e ep; 11) определение компонент вектора напряжений о: о =Dse , где D - матрица упругих констант; 12) вычисление для конечных элементов компонент девиатора напряжений stj и интенсивности напряжений ot; 13) переход к следующему шагу вычислений. Получение разультатов В работе [5] дан детальный обзор последовательности вычислений напряжений и деформаций при сжатии тела прямоугольного сечения в условиях плоской деформации для линейно упрочняющегося тела (рис. 1). Рис. 1. Расчетная схема для анализа плоской деформации при сжатии тела прямоугольного сечения На рис. 2 и 3 показаны решения, полученные по разработанному алгоритму. (На графиках о22 - нормальное напряжение, действующее в направлении сжимающей силы.) Результаты показали, что для задачи с граничными условиями в перемещениях (рис. 2) при возрастании коэффициента упрочнения или скорости деформации напряжения приближаются к решению для идеально упругого тела. При решении задачи с силовыми граничными условиями (рис. 3) наблюдается аналогичный характер уменьшения осадки при увеличении коэффициента упрочнения или скорости деформации. Для сравнения на графиках показаны также решения, полученные методом начальных деформаций. Итерационный процесс по предлагаемому алгоритму обладает более быстрой сходимостью. Так, например, для коэффициента упрочнения 105 МПа сходимость достигается при 4-6 циклах, тогда как по методу начальных деформаций - за 20-30 циклов. В среднем пластическая задача с использованием разработанного алгоритма решается в 3 раза быстрее по сравнению с использованием метода начальных деформаций. В [6] разработанный алгоритм решения задач теории пластичности применен для решения осесимметричной задачи. В системе компьютерной математики MATLAB® создана программа «INDEN-TOR» для решения упругопластической задачи о вдавливании шарика в тело прямоугольного сечения в условиях плоской деформации. х 10 5 4.5 4 3.5 OJ fsj В 2.5 2 Г50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 А, МПа х 10в > < Рис. 2. График зависимости напряжения o22 от коэффициента упрочнения A при перемещении штампа А = 5 мм. о - решение, полученное по разработанному алгоритму; х - решение, полученное методом начальных деформаций

Скачать электронную версию публикации