k-full transitivity of homogeneously decomposable groups.pdf Одним из важнейших понятий в теории абелевых групп является понятие вполне транзитивности. Это понятие было рассмотрено И. Капланским в [1] для /-групп. Для групп без кручения данное понятие впервые появилось в работе П. А. Крылова [2]. Для произвольной абелевой группы понятие «вполне транзитивность» рассматривалось в [3]. Затем оно уточнилось в [9]. При этом введенное понятие вполне транзитивной абелевой группы согласуется с рассматриваемыми ранее определениями вполне транзитивной р-группы и вполне транзитивной группы без кручения. Отметим, что понятие вполне транзитивной группы тесно связано с исследованием вполне характеристических подгрупп абелевых групп [4, 9]. В [5] Д. Кэрролл вводит понятие fc-вполне транзитивной р-группы, тем самым обобщая понятие вполне транзитивности для р-групп. Пусть G - р-группа и к е N . Группа G называется к-вполне транзитивной, если из выполнения условий для кортежей X = (x1,x2,...,xk), Y = (y1,y2,...,) элементов группы G (1) H(x) < H(y), i = й; (2) кортеж X высотно независим, в том смысле, что при i Ф j, h(rxi) Ф h(sx}) для любых r, s е Z, кроме случая rxi = sxj = 0, следует существование эндоморфизма 6 е E(G) группы G со свойством 6(x) = yi, i = 1, к . В [6] рассматривается обобщение понятия вполне транзитивности для абелевых групп без кручения. Определение 1 [6]. Пусть G - группа без кручения и к е N . Кортеж X = (x1,x2,...,xk) элементов группы G называется t-независимым, если при i Ф j типы t(xi) и t(xj) несравнимы. Наибольшую длину t-независимого кортежа группы G назовем t-длиной и будем обозначать kt (G). В случае, если в группе G существует t-независимый кортеж длины k для всех k е N , полагаем kt (G) = ж . 2013 № 4(24) Математика и механика Определение 2 [6]. Пусть G — группа без кручения и k е N . Группу G назовем k-вполне транзитивной, если для любых двух кортежей X = (x1,x2,...xk), Y = (y1, y2,..., yk) элементов группы G, удовлетворяющих условиям: (1) x(X) kt (G) группа G является k-вполне транзитивной по определению. В частности, при k > 1 всякая однородная группа (в том числе любая делимая группа без кручения и группа без кручения ранга 1) является k-вполне транзитивной. Везде далее в тексте под словом «группа» будем подразумевать абелеву группу без кручения. Заметим, что условие t-независимости исключает возможность равенства элементов кортежа нулю. В [6] показано, что в определении 2 условие t-независимости кортежа X нельзя заменить условием линейной независимости. Однако для k-вполне транзитивных групп имеет место следующая связь: Теорема 3. Пусть k > 2 и G — k-вполне транзитивная группа. Тогда всякий t-независимый кортеж длины k является линейно независимым. Доказательство. Пусть группа G - k-вполне транзитивна для некоторого k>2 и кортеж X = (х,X2,...,Xk) — t-независим. Предположим, что кортеж X линейно зависим. Тогда существуют целые m1,m2,...,mk , не все равные нулю, такие, что m1 x + m2x2 +... + mkxk = 0 (*). Пусть mj Ф 0(1< J < k). Рассмотрим кортеж Y = 01У2 — yk ^ где У, = X при 1 Ф J и У] = 2xi. что X(X) 1 тогда и только тогда, когда fc-вполне транзитивна ее редуцированная часть. Доказательство. Необходимость очевидна, поскольку прямое слагаемое k-вполне транзитивной группы само fc-вполне транзитивно [7]. Достаточность. Пусть к > 1 и G = R © D , где R - редуцированная часть группы G, D - делимая часть. Пусть также группа R - fc-вполне транзитивна. Рассмотрим кортежи X = (x1, x2,..., xk), Y = (y1, y2,..., yk), удовлетворяющие условиям определения 2. Имеем xi = ri + dt; yi = r- + di, где ri,ri e R; dt, d■ e D (i = 1,к). Понятно, что x(xi) = x(ri) и %(yi) = %(r/). Таким образом, условия определения 2 выполнены для кортежей XR = (r1,r2,...,rk), YR = (r1',r2',...,rk ), а значит, в силу fc-вполне транзитивности группы R, существует ф е E(R), такое, что ф(г ) = г[ (i = 1, к). Рассмотрим подгруппу H группы R, порожденную элементами r1,r2,...,rk . Поскольку кортеж XR - t-независим, то по теореме 2 он линейно независим. Тогда H = ©(r2)©...©(rk). В силу того, что H - свободная абеле-ва группа, всякое отображение а множества XR в любую абелеву группу A продолжается до гомоморфизма у: H ^ A [8, теорема 14.2]. Значит, отображение а : XR ^ D , где a(ri) = d/ (i = 1, к), продолжается до гомоморфизма у: H ^ D, т.е. для любого элемента heH , h = m1r1 + m2r2 +... + mkrk , получаем y(h) = m1d1' + m2d2' +... + mkdk . Поскольку группа D инъективная, гомоморфизм у может быть продолжен до гомоморфизма с группы R в группу D [8, с. 119]. Итак, существует гомоморфизм ст е Hom(R; D), такой, что a(ri) = d- . Рассмотрим эндоморфизм 9 группы G, действующий по правилу 6(r + d) = ф(г) + ст(г), где r е R, d е D . Тогда получим, что 6(xi) = 6(ri + di) = ф(^-) + CT(ri) = ri + d- = yi. Следовательно, G также fc-вполне транзитивная группа. ■ Учитывая аналогичный результат для вполне транзитивных групп [9], далее будем рассматривать только редуцированные группы. Рассмотрим fc-вполне транзитивные однородно разложимые группы. Напомним, что группа G называется однородной, если все элементы группы G имеют один и тот же тип [10]. Группа G называется однородно разложимой, если ее можно представить в виде прямой суммы однородных групп [10]. Сгруппировав однородные компоненты одного и того же типа, для однородно разложимой группы получим каноническое разложение G = © Gt, где T геТ некоторое множество типов, Gt - однородная группа типа t. Обозначим для всякого Т1 с Т GT = © Gt с G . Тогда, в частности, GT = G; G{t} = Gt. Так- 1 teT1 ' ' же, для всякого элемента g е G однородно разложимой группы обозначим IT (g) = {t е T; nt (g) Ф 0}, где nt - проекция на прямое слагаемое Gt. Пусть P = {p1,p2,...,pn,.. } — множество всех простых чисел, упорядоченных по возрастанию. Для произвольной группы без кручения G обозначим множество n(G) = {рг е P; p,G ф G}. Тип t = (х1,х2,...,Xn,.) назовем pj-делимым для некоторого простого pt е P , если соответствующая координата типа t х, = ж. Тип t делимый, если он p,-делимый для всех p, е P . Напомним, если ^ = (а^...,ап,...), t2 = (ft,...,Pn,...), то ^ • t2 = (X1,X2,...,Xп,...), где х, = а, +Р, и бесконечность плюс нечто есть бесконечность [10]. Определение 6 [4]. Будем говорить, что однородно разложимая группа G = © Gt удовлетворяет условию контрастности для типов, если для всяких геТ двух типов t1, t2 е Т, t1 Ф t2 и любого простого числа p, такого, что pG Ф G , имеет место pG = G .

Скачать электронную версию публикации