The development of an approach for the solution of the fourth degree algebraic equation.pdf Публикации по исследованиям в области разработки современных технологий во многих случаях (например, в [1-3]) содержат алгебраические уравнения 4-й степени с коэффициентами, зависящими от параметров и принимающими действительные значения. В них происходит учёт зависимости корней этих уравнений от параметров и ставится вопрос, равносильный вопросу об условиях на параметры, при которых корни принадлежат множеству действительных чисел или множеству комплексных чисел с ненулевыми мнимыми частями. Путями учёта, если уравнения не являются биквадратными, служат следующие способы: решение Декарта - Эйлера [4, с. 48]; решение Феррари [4, с. 48] (имеет наибольшее число применений); способ, предложенный В. А. Подвысоцким [5]. Однако выведенные для учёта зависимости не доводятся до равенств, в левых частях которых находятся корни, а в правых - зависящие от параметров выражения. Основная причина сложившегося положения - отсутствие таких равенств в справочной литературе для уравнения 4-й степени с буквенными коэффициентами. Поэтому в данной работе такие равенства выводятся. Также выводятся связи между корнями уравнения и корнями его резольвенты, и на их основе предлагаются утверждения, устанавливающие без вычисления корней их принадлежность к множеству действительных чисел или множеству комплексных чисел с ненулевыми мнимыми частями. За основу вывода взяты аналитические зависимости из работы [6], развивающей известный аналитический способ [7, с. 27]. Изложенный в [7] способ и решение Феррари с точностью до обозначений используют одно и то же уравнение 4-й степени и одну и ту же резольвенту, отличаясь друг от друга видами пар вспомогательных квадратных уравнений. С другой стороны, использование на практике решения Феррари сопровождается преобразованием вспомогательных квадратных уравнений к виду, применяемому в [7]. Поэтому [6] является и развитием метода Феррари. В [6] были предложены такие три величины, значения которых позволяют без подбора каких-либо коэффициентов строить ту пару вспомогательных квадратных уравнений, объединение корней которых даёт все корни уравнения 4-й степени. Притом в общем случае коэффициентами квадратных уравнений могут быть комплексные числа с ненулевыми мнимыми частями. Использование этих квадратных уравнений позволяет в общем случае находить корни уравнения 4-й степени быстрее, чем вышеупомянутые способы. Однако в литературе отсутствует выражение компонент корней этих квадратных уравнений через коэффициенты уравнения 4-й степени. В данной работе этот пробел восполняется в рамках развития подхода, осуществлённого в [6]. В целях вычисления корней уравнения 4-й степени в [6] предложены таблицы, в одной из которых содержатся формулы по расчёту корней кубического уравнения, а в другой - пары вспомогательных квадратных уравнений. В данной работе они приводятся после устранения в них избыточных данных. Табл. 1, содержащая пары квадратных уравнений, рассчитана на уравнение z4 + a3z3 + a2z2 + a1z + a0 = 0 (1) и использует действительный корень кубического уравнения u3 - a2u2 + (aja3 - 4a0)u - (aj2 + a0a32 - 4a0a2) = 0. (2) Ниже корень имеет обозначение u1. Уравнение (2) является резольвентой. В этой таблице используются также величины d1 и d2, вычисляемые по формулам d1 = a32/4 + щ - a2; (3.1) d2 = (u1/2)2 - a0. (3.2) Содержащиеся в ней квадратные уравнения позволяют для вычисления корней уравнения (1) использовать любой действительный корень уравнения (2). На практике, однако, проще использовать такой корень уравнения (2), который даёт неотрицательные значения величинам (3). Его существование вытекает из теорем, предлагаемых ниже и использующих лемму. В ней корни уравнений (1) и (2) имеют соответственно обозначения z1, z2, z3, z4 и y1, y2, y3. Лемма. Корни уравнения 4-й степени и резольвенты связаны соотношениями y1 = ^2 + z3z4, y2 = + z2z4, (*) y3 = ^4 + z2z3. Доказательство. Величины - (y + y2 + y3), y1y2 + yy + У2УЭ, - У\УтУЭ при использовании зависимостей (*) и теоремы Виета для уравнения (1) приводят к соотношениям - У + y2 + УЭ) = -a2, У1У2 + УУ + У2УЭ = a1a( - 4a0, -У1У2УЭ = -(a12 + aa2 - 4a0a2). (**) Равенство правых частей соотношений (**) соответствующим коэффициентам уравнения (2) приводит на основании теоремы Виета для уравнения (2) к выводу о справедливости формул (*). Теорема 1. Если все корни уравнения (1) являются действительными числами, то любой корень уравнения (2) имеет следующие свойства: он является действительным числом; для него величины (3) принимают неотрицательные значения. Доказательство. Пусть действительные числа x1, x2, x(, x4 служат корнями уравнения (1). Тогда y1, y2, уэ, согласно лемме, являются суммами произведений действительных чисел и потому сами являются действительными числами. Притом величина 4d2 для u1 = y1, u1 = y2, u1 = уэ имеет соответственно неотрицательные значения (x1x2 - x(x4)2, (x1x3 - x2x4)2, (x1x4 - x2x()2. Поэтому для каждого из корней y1, y2, y3 величина d2 принимает неотрицательное значение. Этим свойством обладает и величина d1, так как величины d1 и d2 не могут принимать значения различных знаков [6]. Теорема 2. Если все корни уравнения (1) являются комплексными числами с ненулевыми мнимыми частями, то все корни уравнения (2) являются действительными числами. Для наибольшего из них величины (3) принимают неотрицательные значения. Доказательство. Пусть комплексные числа а + ip, а - pi, у + i5 и у - i5 с ненулевыми мнимыми частями служат корнями уравнения (1). Тогда, согласно лемме, yi = а2 + р2 + у2 + 52, y2 = 2ау - 2р5, y3 = 2ау + 2р5. Следовательно, y1, y2, y3 являются действительными числами. Притом величина 4d1 для u1 = y1 преобразуется в величину (2а - 2у)2, принимающую неотрицательные значения. Поэтому для u1 = y1 неотрицательные значения принимают величины d1 и d2. Сложение оче- 0 0 0 0 00 00 видных неравенств из пар а + у > 2ау, Р + 5 > -2р5 и а + у > 2ау, Р + 5 > 2р5 0000 0000 приводит к неравенствам а + Р + у2 + 5 > 2ау - 2р5 и а + Р + у2 + 5 > 2ау + 2р5, говорящих о том, что y1 является наибольшим среди корней уравнения (2). Теорема 3. Если уравнение (1) имеет два неравных между собой действительных корня и комплексные корни с ненулевыми действительными частями, то уравнение (2) имеет лишь один действительный корень и для этого корня величины (3) принимают неотрицательные значения. Если уравнение (1) имеет два равных между собой действительных корня и комплексные корни с ненулевыми мнимыми частями, то уравнение (2) обладает следующими свойствами: оно имеет три действительных корня, два из которых равны между собой; для его наибольшего корня величины (3) принимают неотрицательные значения. Доказательство. Пусть корнями z1, z2 служат действительные числа x1 и x2, а корнями z3, z4 являются комплексные числа а + ip и а - pi с ненулевыми мнимыми частями. Тогда, согласно лемме, справедливы равенства y1 = x1x2 + а2 + р2, y2 = (x1 + x2^ + i(x1 - x2)P, y3 = (x1 + x2)а - i(x1 - x2)p. Следовательно, y1 является действительным числом. Притом величина 4d1 для u1 = y1 преобразуется в неотрицательную величину (x1 + x2 - 2а)2. Следовательно, для u1 = y1 неотрицательные значения принимают и величины d1 и d2. Корни y2, y3 являются при x1 = x2 действительными числами, а при x1 Ф x2 - комплексными числами с ненулевыми мнимыми частями. Если x1 = x2, то y1 = x12 + а2 + р2, y2 = 2x1а, уз = y2 и, следовательно, y1, y2, y3 принимают действительные значения. Кроме того, если x1 = x2, то справедливы неравенства y1 > y2 и y1 > y3, вытекающие из неравенства x12 + а2 + р2 > 2x^, являющегося следствием справедливого неравенства (x1 - а)2 + р2 > 0. Из теорем вытекают следующие утверждения. Следствие 1. Если все корни уравнения (2) являются действительными числами, то для наибольшего из них величины (3) принимают неотрицательные значения. Если лишь один корень уравнения (2) является действительным числом, то для него величины (3) принимают неотрицательные значения. Следствие 2. Если уравнение (2) имеет лишь один действительный корень, то уравнение (1) имеет два неравных между собой действительных корня и два комплексных корня с ненулевыми мнимыми частями. Следствие 3. Если все корни уравнения (2) являются действительными числами, то или уравнение (1) имеет лишь действительные корни, или уравнение (1) имеет лишь комплексные корни с ненулевыми мнимыми частями, или уравнение (1) имеет два равных между собой действительных корня и два комплексных корня с ненулевыми мнимыми частями. Следствие 1 непосредственно вытекает из теорем 1-3 и приводит к выводу о существовании действительного корня уравнения (2), дающего неотрицательные значения величин (3). Доказательство следствий 2 и 3 методом от противного приводит к противоречиям с их условиями. Поэтому следствия 2 и 3 справедливы. Хотя следствие 1 позволяет избегать в расчётах случая отрицательных значений величин (3), приводимая ниже табл. 1, содержащая квадратные уравнения, расчи-тана и на этот случай. Таблица 1 Пары квадратных уравнений Случаи и их варианты Пара квадратных уравнений 1 d1>0, d2>0, a3u1 - 2a1>0; d1 = 0, d2>0; d2 = 0, d1>0; d1 = 0, d2 = 0 v2+(a3/2+|d1|1/2)v +u1/2+|d2|1/2 = 0 v2+ (аз/2 - |d1|1/2)v +u1/2 - |d2|1/2 = 0 2 d1>0, d2>0, a3u1 - 2a1 0, q ф 2-1; 2) p = 0, q < 0, qф -2-1; 3) p > 0, q = 0; 4) q ф 0, p < 0, q2 + p3 > 0, ф ф 0; 5) q ф 0, p > 0. Доказательство. Если выполняется какое-либо из перечисленных условий, то уравнение (2) имеет лишь один действительный корень. Поэтому применимо следствие 2, приводящее к утверждению теоремы. Формулы из табл. 2 позволяют сначала найти действительный корень u1 уравнения (2), а затем, используя квадратные уравнения из табл. 1, и все корни уравнения (1). О решении квадратных уравнений из табл. 1 речь пойдёт ниже. Каждое квадратное уравнение из табл. 1 представимо в виде равенства V2 + (Яэ/2 + p1&1re + /p!&1lm)V + (У1/2 + p2&2re + pklm) = 0. (6) Если, согласно табл. 1, уравнение (1) относится к случаю 1, то для верхнего квадратного уравнения p1 = 1, p2 = 1, k1re = |4|1/2, k1im = 0, k2re = |d2|1/2, k2im = 0, а для нижнего квадратного уравнения p1 = -1, p2 = -1, k1re = |^1|1/2, k1im = 0, k2re = |d2|1/2, k2im = 0. Если уравнение (1) относится к случаю 2, то для верхнего квадратного уравнения p1 = 1, p2 = -1, k1re = |d1|1/2, k1im = 0, k2re = |d2|1/2, k2im = 0, а для нижнего квадратного уравнения p1 = -1, p2 = 1, k1re = |d1|1/2, k1im = 0, k2re = |d2|1/2, k2im = 0. Если уравнение (1) относится к случаю 3, то для верхнего квадратного уравнения p1 = 1, p2 = 1, k1re = 0, k1im = |d1|1/2, k2re = 0, k2im = |d2|1/2, а для нижнего квадратного уравнения p1 = -1, p2 = -1, k1re = 0, k1im = |d1|1/2, k2re = 0, k2im = |d2|1/2. Если уравнение (1) относится к случаю 4, то для верхнего квадратного уравнения p1 = 1, p2 = -1, k1re = 0, k1im = |d1|1/2, k2re = 0, k2im = |d2|1/2, а для нижнего квадратного уравнения p1 = -1, p2 = 1, Мге = 0, k1im = |d111/2, k2re = 0, &2im = |d2|1/2. Решением уравнения (6) является двузначная функция z, определяемая в поле комплексных чисел равенством z = -(аз/2 + p1k1re + Zp1k1im)/2 + {(аз/2 + p1k1re)2/4 - (МИт)2/4 - (У1/2 + p2k2re) + + /'[(аз/2 + p1 k1re)(p1 knm)/2 -p2k2im]}1/2. (7) Далее действительная и мнимая части подкоренного выражения из соотношения (7) имеют обозначения sre и sim. Для sre и sim справедливы равенства Sre = (аз/2 + p1k1re)2/4 - (М1т)2/4 - (>>1/2 + p2k2re); (8) Sim = (аз/2 + p1k1re)(p1k1im)/2 - p2k2im. (9) Ниже компоненты функции z применительно к верхним уравнениям из табл. 1 имеют обозначения z1re, z1im (для одного корня) и z2re, z2im (для другого), а применительно к нижним уравнениям из табл. 2 - z3re, z3im (для одного корня) и z4re, z4im (для другого). Применение формулы извлечения квадратного корня в поле комплексных чисел [4, с. 26] из величины sre + /sim приводит к тем формулам для вычисления компонент корней уравнения, которые приведены в табл. з - 6. Случаи, к которым относятся эти таблицы, представлены с помощью операций в алгебре высказываний. Высказывания заключены в скобки. Имеющие дробные степени величины являются арифметическими корнями. Таблица з Формулы для компонент корней уравнения 4-й степени [(^1>0)л(^2>0)л(взи1 - 2a1>0)]v[(rf1 = 0)л№>0)М№ = 0)A(rf1>0)]v[(rf1 = 0)a(J2 = 0)] Формула для Sre: Sre = (а3/2+^1/2)2/4 - (M1/2+d21/2). Формулы для компонент корней z1 и z2 Условие на sre Sre>0 zke = -(aз/2+dl1/2)/2+Sгe1/2Zl1m = 0 z2re = -(aз/2+dl1/2)/2 - Sre1/2 z2m = 0 Sre0 Zзгe = -(аз/2 - d11/2)/2+Sre1/2 Zзlm = 0 z4re = -(аз/2 - d11/2)/2 - Sre1/2 z4im = 0 Sre0 Z1re = —(aз/2+dl1'2)/2+5re1'2Zl1m = 0 Z2re = —(a3/2+d11/2)/2 - ire1/2 Z2im = 0 ire0 Z3re = — (a3/2 - dl1'2)/2+5re1'2 Z3.m = 0 Z4re = — (a32 - d11/2)/2 - ire1/2 Z4im = 0 ire0 Z1re = —a3/4+(ire2+iim2)1MCOS(arCtg(iim/ire)/2) Z1im = —|d1|1/2/2+(ire2^ii,^2)1/4sin(arCtg(iim/ire)/2) Z2re = —a3/4+(ire2+iim2)1/4COS(arCtg(iim/ire)/2+n) Z2im = —|d1|1/2/2+(ire2+iim2)1/4sin(arCtg(iim/ire)/2+n) ire0 Z1re = —aз/4+ilm1'2/21'2 Zhm = —|dl|1'2/2+ilm1'2/21'2 Z2re = —a3/4 - iJ/221/2 Z2im = —И1/2/2 - ^т1/2/21/2 ire = 0, iim

Скачать электронную версию публикации