Extremal curves of geodesic torsion on a nonholonomic distribution.pdf Двумерное распределение в Е3 - это гладкое отображение Д, сопоставляющее VM е E3 (или области G с E3) плоскость п, проходящую через М [2, с. 683]. По распределению Д однозначно определяется уравнение Пфаффа. Распределение называется неголономным, если соответствующее ему уравнение Пфаффа не вполне интегрируемо. Его интегральные кривые, проходящие через точку М, касаются в этой точке плоскости п и называются кривыми распределения. Пара (M, п) называется плоским элементом; плоскость п - плоскостью распределения в точке М; прямая l, проходящая через М ортогонально п, - нормалью распределения в точке М. Множество всех плоских элементов (график распределения) представляет собой трёхмерное многообразие, что позволяет использовать метод внешних форм Картана. 1. Предварительные сведения К каждому элементу (M, п) присоединим ортонормированный репер (M, ei), где e3 - единичный вектор нормали распределения в точке М. Деривационные формулы репера запишем в виде dr = , ' (1.1) del = j, где r - радиус-вектор точки М, ю1 = -ю/, dю' = ю1 лю':, dю/ = (йк лю/ 1 j 1 ' ' k (i, j, k = 1,2,3). Формы Пфаффа ю3,ю1 - главные формы [1, C.288]. Из них ю' - базисные формы, поэтому ю3 = A ю1. (1.2) По матрице (AJ) определяем линейный оператор А, для которого A(dr) = de3. Уравнение Пфаффа, соответствующее распределению Д, - это уравнение ю3 = 0. (1.3) Плоскость п относительно выбранного репера имеет уравнение х3 = 0. Сужение оператора А на плоскость п обозначим А . Собственные значения оператора А*, взятые с противоположными знаками, являются главными кривизнами 2-го рода, а его собственные векторы определяют главные направления 2-го рода. Произведение главных кривизн 2-го рода - это полная кривизна второго рода, а их полусумма - средняя кривизна. Кривая распределения, в каждой точке которой касательный вектор имеет одно из главных направлений 2-го рода, называется линией кривизны 2-го рода. Она характеризуется тем, что вдоль неё нормали распределения описывают торс [3, с. 49]. Введём обозначения: к[Т), к((2 ) - главные кривизны 2-го рода, K2 = &1(2)&22) к (2) + к (2) Л-1 ~ Л-2 полная кривизна 2-го рода, H = ——^^— - средняя кривизна. Инвариант H2 - K2 называют ( по аналогии с теорией поверхностей) эйлеровой разностью. От него зависит, какими будут главные кривизны 2-го рода. А именно: 1) если H2 - K2 > 0, то kj(2), k22) - вещественные различные числа; 2) если H2 - K2 < 0, то kj(2), k22) - комплексные числа; 3) H2 - K2 = 0, то kj(2) = k22). Соответственно через точку М в случае 1) проходят две линии кривизны 2-го рода; в случае 2) через М не проходят действительные линии кривизны 2-го рода; в случае 3) через М проходит только одна линия кривизны 2-го рода. Линейный оператор А для него-лономного распределения не симметричен, и потому его можно представить в виде А = В +В, где В - симметричный оператор, а В - кососимметричный оператор с матрицей 4 - A2 л 0 —1 2 A - A -1—2 0 V 2 A1 - A2 Обозначим 2 2—— = р. Распределение Д голономно тогда и только тогда, когда р = 0. Поэтому р называется скаляром неголономности [4, с. 63]. Собственные значения оператора В*, взятые с противоположными знаками, являются главными кривизнами 1-го рода, а его собственные векторы определяют главные направления 1-го рода. Произведение главных кривизн 1-го рода называется полной кривизной 1-го рода. Кривая распределения, в каждой точке которой касательная направлена по одному из главных направлений 1-го рода, называется линией кривизны 1-го рода. Обозначим: kj(1),kp - главные кривизны 1-го рода, K1 - полная кривизна 1-го рода. Для них имеем k (1) + k (1) k (2) + k (2) р2 H = k +k2 = k +k2 = k21); K2 = K + . (1.4) 2 2 2 1 4 Так как оператор В симметричен, то главные кривизны 1-го рода - вещественные числа. Если k^-1 Ф k®, то в точке М существуют два ортогональных главных направления 1-го рода. Если же k1(1) = k®, то в такой точке всякое направление будет главным направлением 1-го рода. Элементы A1, A32 матрицы основного оператора А определяют вектор кривизны линии тока нормалей распределения Д. 2. Основные инварианты линии неголономного распределения Пусть r = r (s) - кривая распределения Д, параметризованная дугой. Введём обозначения: h = ^ Л = , j2 = [4j1]. as Так как I1,I2,I3 - единичные взаимно ортогональные векторы, то dr j ds d^L=k j + kj ds = kgj 2 + knj 3, (2.1) dhL = -kj + K j ds = kgj1 +Kg/3, d1!=-kI -K j ds = knh ^ Величины kn, kg, kg - инварианты линии распределения. Они носят названия: kn - нормальная кривизна кривой (проекция вектора кривизны кривой на нормаль распределения); kg - геодезическая кривизна кривой распределения (проекция вектора кривизны кривой на плоскость п); кg - геодезическое кручение кривой распределения. Геометрическая характеристика геодезическому кручению будет дана ниже. Теорема 1. Только для линии кривизны 2-го рода в каждой её точке геодезическое кручение к равно нулю. Доказательство. Как было отмечено выше, линия кривизны 2-го рода характеризуется тем, что вдоль неё нормали распределения образуют торс, то есть для (dr - d/3 ^ - - неё I —, I3,—3 1 = 0. Отсюда получаем (11,I3, -KgI2) = Kg = 0. ■ ^ ds ds J Найдём выражение кривизны и кручения для произвольной линии распределения через инварианты kn, kg, к . Из (2.1) для вектора кривизны кривой имеем kn = kgI2 + knI3, где k - кривизна кривой. Отсюда следует k = V kn2 + kg. (2.2) Вычислим кручение к кривой распределения. Используя (2.1), находим 1 ( dkn dk Л Ч^ - K-g- 1 + к g. (2.3) (3.1) k2 + k2 ^ ds " ds ''

Скачать электронную версию публикации