On abelian groups with central squares of commutators of endomorphisms.pdf Все группы в статье предполагаются абелевыми. Пусть A - группа. Тогда E(A) обозначает кольцо ее эндоморфизмов, r(A) - ранг, Ap - ее p-компоненту, а t(A) -периодическую часть. Если A - однородная группа без кручения, то t(A) - ее тип. Если f A ^ B - гомоморфизм, то f | H - ограничение f на H £ A. Если B, G - группы и X - непустое подмножество B, то через Hom (B, G)X обозначим подгруппу в G, порожденную всеми подмножествами fX, где f е Hom (B, G). Через 1A обозначим тождественный автоморфизм группы A, Z - аддитивную группу целых чисел, Q - аддитивную группу всех рациональных чисел. Z „ - квазициклическую p-группу. Напомним, что если R - кольцо и a,b е R, то элемент [a,b] = ab - ba называется коммутатором элементов a и b. Статья посвящена изучению абелевых групп, кольца эндоморфизмов которых удовлетворяют тождеству [[х, у]5, z] = 0. Обозначим класс таких групп через ZBL2. Исследованию тождеств в алгебре посвящена обширная литература, см., напр., [1 - 7]. Не претендуя на полноту, отметим также статьи [8-17]. В [8] помимо прочего доказано, что некоммутативная алгебра с делением, удовлетворяющая тождеству [[х, у]2, z] = 0, четырехмерна над своим центром. В [18, 19] изучался класс BL2 групп A, таких, что [а,Р]2 = 0 для любых а,Р е E(A); а в [20] изучались Е-нильпотентные группы ступени < 2 - такие группы A, кольца эндоморфизмов которых удовлетворяют тождеству [[х, у], z] = 0. Как это следует из [19, лемма 1], группы из класса BL2 не содержат прямых слагаемых вида B © C, где B = C, а у Е-нильпотентных групп кольца эндоморфизмов нормальны [20, предложение 1.2]. Поэтому класс ZBL2-групп шире классов BL2-групп и Е-нильпотентных групп ступени < 2 (см. далее теоремы 5, 7, 8). В [21-29] изучались группы из класса BLn для произвольного натурального n и другие (Е-разрешимые, Е-энгелевы, проективно разрешимые) близкие классы групп. В [30] исследовались центрально инвариантные подгруппы (т.е. подгруппы, инвариантные относительно центра группы) и коммутаторно инвариантные подгруппы (т.е. такие подгруппы H группы A, что [a,P]H с H для любых a,p e E(A)). В [31-34] изучались проективно инвариантные подгруппы, т.е. такие подгруппы H группы A, что пН с H для любой проекции п группы A. Вопросы продолжения автоморфизмов подмодулей изучались в [35]. Близкие классы групп исследовались в [36, 37]. Подгруппу A' = ([ф,у]4 | ф,у e E(A)) назовем E-коммутантом группы A. Ясно, что кольцо E(A) коммутативно в точности тогда, когда A' = 0. Некоторые свойства и описание E-коммутанта ряда классов групп получены в [18 - 29]. Прямые слагаемые групп из класса ZBL2 также принадлежат этому классу. Поэтому в следующих трех леммах приводятся общие свойства прямых слагаемых групп из класса ZBL2. Лемма 1. Пусть A = B © C, где B,C ф 0. Тогда если A e ZBL2, то B,C e ZBL2, fa,y](Hom (B,C)B) = 0, a(B ') = 0 и [^,v](Hom (C,B)C) = 0, 1(C ') = 0 для любых ф,у e E(C), a e Hom (B,C) и e E(B), 1 e Hom (C,B). Доказательство. Пусть п: A ^ B, 9: A ^ C - проекции, ф,у e E(C), 1 e Hom (C,B), а у e Hom (B,C). Продолжим ф,у до эндоморфизмов группы A, полагая ф | B = у, у | B = 0. Тогда для b e B имеем [ф,у]Ь = фуЬ - уфЬ = - уфЬ = - yyb и [ф,у]2Ь = - ([ф,у]уу)Ь. Оставив действие ф прежним, а действие у на B определив как действие тождественного автоморфизма, получим [ф,у]Ь = фуЬ - уфЬ = yb - yyb и [ф,у]2Ь = ([ф,у]у)Ь - ([ф,у]уу)Ь. Откуда ввиду того, что [[ф,у]2,п]Ь = [ф,у]2Ь, приравняв к 0 полученные выше выражения для квадратов коммутаторов, имеем ([ф,у]уу)Ь = 0 и ([ф,у]у)Ь -([ф,у]уу)Ь = 0. Следовательно, ([ф,у]у)Ь = 0 и, значит, ^^(Hom (B,C)B) = 0 в силу произвольности у e Hom (B,C) и b e B. Определим ф, f e E (A), полагая ф | C = ф + Х, ф | B = 1B , ф | C = ф, ф | B = 0. Тогда для c e C имеем [ф, ф ] c = (фф) c - (фф) c = [ф, ф ] c + (Xf) c. Так как [ф, ф] | B = 0, то [ф, ф]2 c = [ф, ф]2 c + (Хф[ф, ф]) c . Далее [л,[ф, ф]2 J c = = (п[ф,ф]2) c = (Хф[ф,ф]) c = 0. Определим теперь ф, ф следующим образом: ф| C = ф + Х, ф| B = 0, ф | C = ф, ф | B = 1B . Тогда [ф, ф] c = (фф) c - (фф) c = (фф)c + (Хф^ - ф(фc + Xc) = = (фф)c + (Хф^ - (фф)c - Xc = [ф, ф] c + (Хф) c - Xc. А так как и здесь [ф, ф] | B = 0 , то [ф, ф]2c = [ф, ф]2 c + (Хф[ф, ф]) c - (Х[ф, ф]) c и [п, [ф, ф]2 J с = (Хф[ф, ф]) c - (Х[ф, ф]) c = 0 , откуда из доказанного выше равенства (Хф[ф, ф]) c = 0 получаем (Х[ф, ф]) c = 0 . Следовательно, 1(C ') = 0. Ввиду симметричности прямых слагаемых B и C лемма доказана. Лемма 2. Пусть A = B © C © Ж. Тогда если A e ZBL2, то P(Hom (B,C)B) = 0 для каждого р e Hom (C,N). Доказательство. Пусть у е Hom (B,C). Определим f е E(A) следующим образом: f | B = у,f | C = р иf | N= 0. Если теперь b е B, а п: A ^ C - проекция, то [nf]b = (nf)b - (fn)b = yb, [nf]2b = ([nf]y)b = (f )b - (fny)b = - Pyb. Имеем [[п/]2,п]Ь = - (п [nf]2)b = Pyb = 0. Откуда следует, что P(Hom (B,C)B) = 0. Лемма 3. Пусть A = B © C, где Hom (B,C) Ф 0 и каждый ненулевой гомоморфизм из Hom (B,C) является мономорфизмом, а B,C - такие группы, что их ненулевые эндоморфизмы также являются мономорфизмами. Тогда если A е ZBL2, то кольца E(B) и E(C) коммутативны. Доказательство. Согласно лемме 1, a(B ') = 0 для каждого 0 Ф а е Hom (B,C), а поскольку все такие а являются мономорфизмами, то B ' = 0, т.е. кольцо E(B) коммутативно. Далее, по той же лемме Hom (B,C)B с ker [ф,у] для всех ф,у е E(C). А так как по условию Hom (B,C)B Ф 0, то [ф,у] = 0. Это означает коммутативность E(C). Лемма 4. Пусть A = © , е I A, (A = П i е i Ai), где подгруппы A, вполне характеристичны в A. Тогда A е ZBL2 в том и только в том случае, когда все A, е ZBL2. Доказательство. Очевидно. Теорема 5. Пусть D - ненулевая делимая группа. Тогда D е ZBL2 в том и только в том случае, когда выполняется одно из следующих условий: 1) D = Q © Q или D = Q; 2) D = Q©( © Z „), где П - некоторое непустое множество простых чисел; peП p 3) D = © (©Z „), где П - некоторое непустое множество простых чисел, а peП mp p mp = 1 или mp = 2 для каждого p е П. Доказательство. Делимая группа без кручения имеет вид © Q , где m - некоm торое кардинальное число. Поэтому необходимость п. 1) следует из леммы 2. Для D = Q © Q кольцо E(D) изоморфно кольцу матриц M(2,Q) над полем Q. Такое кольцо удовлетворяет условию [[х, у]2, z] = 0, что доказывает п. 1) теоремы. Если периодическая часть t(D) группы D отлична от 0, то D = D0 © t(D), где (если D0 Ф 0) D0 = © Q для некоторого кардинального числа m. Hom (Q, Z „) Ф 0 mp для каждого простого числа p. Поэтому если D е ZBL2 и D0 Ф 0, то из леммы 2 следует, что D0 = Q, а Dp = Zp„ для каждого простого p с условием Dp Ф 0. Далее, подгруппа t(D) вполне инвариантна в D и для группы D, указанной в п. 2), кольца E(D0) и E(t(D)) коммутативны. Для такой группы D квадрат коммутатора любых ее эндоморфизмов равен 0, поэтому такая группа D принадлежит классу ZBL2. Каждая ненулевая p-компонента Dp делимой группы D изоморфна группе © Z „ для некоторого кардинального числа mp. Из леммы 2 следует, что mp = 1 mp p или mp = 2. Если группа D периодична, то D = © Dp для некоторого множества peП П простых чисел, каждая подгруппа Dp вполне инвариантна в D, если mp = 1, то кольцо E(Dp) коммутативно, если же mp = 2, то Dp = Z „ © Z „ и кольцо E(Dp) изоморфно кольцу матриц M(2, Z ), где Z p - кольцо целых p-адических чисел [38, § 43, пример 3], такое кольцо удовлетворяет тождеству [[x, y]2, z] = 0, что доказывает п. 3) теоремы. Теорема 6. Если 0 ф D - делимая часть группы A, A = B © D и 0 ф B - группа без кручения, то A e ZBL2 в том и только в том случае, когда E(B), E(D) - коммутативные кольца. Доказательство. Необходимость. Имеем Hom (B,D) Ф 0 и Hom (Q, ZpCO) Ф 0 для каждого простого числа р. Поэтому из леммы 2 следует, что D = Q или D -периодическая группа, каждая ненулевая р-компонента которой изоморфна группе Z да , кольцо эндоморфизмов E(D) такой группы D коммутативно. Так как для каждого 0 Ф b e B существует гомоморфизм ф: B ^ D со свойством фЬ Ф 0, то из леммы 1 следует, что B ' = 0, т.е. кольцо E(B) коммутативно. Достаточность вытекает из того, что прямое слагаемое D вполне инвариантно в A и так как кольца E(B) и E(D) коммутативны, то квадрат любого коммутатора эндоморфизмов группы A равен 0. Теорема 7. Пусть A - вполне разложимая группа без кручения, не являющаяся делимой, A = B © D, где D - делимая часть группы A. Тогда A e ZBL2 в том и только в том случае, когда: 1) если D Ф 0, то D = Q, а B - прямая сумма групп ранга 1 с попарно несравнимыми типами; 2) если D = 0, то A = © Ai, где типы прямых слагаемых ранга 1 групп a, и Aj ieI не сравнимы при i ф J, причем либо r(Ai) = 1, либо Ai = Bi © Ci, где r(Bi) = 1, а группа Ci изоморфна группе Bi или является прямой суммой групп ранга 1 с попарно несравнимыми типами, каждый из которых больше, чем тип t(B). Доказательство. Необходимость следует из леммы 2, поскольку для прямого слагаемого N1 © N2 © N3 группы A, где r(Ni) = 1, невозможно условие t(N1) < t(N2) < t(N3). Достаточность в п. 1) следует из того, что D - вполне инвариантная подгруппа в A, а E(B), E(D) - коммутативные кольца. В п. 2) A e ZBL2 как прямая сумма вполне инвариантных подгрупп из ZBL2. Теорема 8. Пусть A - сепарабельная (векторная) группа без кручения, A = B © D, где D - делимая часть группы A. Тогда A e ZBL2 в том и только в том случае, когда: 1) если D Ф 0, то D = Q, а B - прямая сумма (прямое произведение) групп ранга 1 с попарно несравнимыми типами; 2) если D = 0, то A = ©,■ еIAi (A = П еIAi), типы прямых слагаемых ранга 1 групп Ai и Aj не сравнимы при различных i и J, причем либо r(Ai) = 1, либо Ai = Bi © Ci, r(Bi) = 1, а группа Ci изоморфна группе Bi или является сепарабельной (векторной) группой, типы прямых слагаемых ранга 1 которой попарно не сравнимы и каждый из них больше, чем тип t(B). Доказательство. Если Q(A) - множество типов всех прямых слагаемых ранга 1 сепарабельной группы A, то Q(A) можно разбить на классы эквивалентности Q(A) = U i e IQ,, где типы s, t e Q(A) считаются эквивалентными, если существуют tb...,tn e Q(A), такие, что типы ti и ti+1 сравнимы для всех i = 0,...,n (здесь t0 = s, tn + 1 = t). В этом случае A = ©,- е I Ai, Q(A,) = Q и подгруппы A,- вполне инвариантны в A, т.е. типы из Q(A,) и Q(Aj) не сравнимы при i Ф J [39, § 19, упр. 7]. Из этого, в частности, следует, что сепарабельные группы без кручения типы прямых слагаемых ранга 1 которых попарно несравнимы, являются вполне разложимыми группами. Для векторных групп можно использовать лемму: если п -ненулевой гомоморфизм векторной группы V = П е IRi в векторную группу W = П е jSj (Ri и Sj - группы ранга 1), то t(R,) < t(Sj) для некоторых i е I и j е J [38, лемма 96.1]. С учетом этих фактов оставшиеся утверждения доказываются аналогично теореме 7. В [40] исследовались слабо транзитивные Е-энгелевы группы без кручения.

Скачать электронную версию публикации