Continuity of convex functions.pdf В статье А.В. Архангельского и Б.М. Бокало [1] введен класс разреженно непрерывных функций, более узкий, чем класс функций первого класса Бэра, но более широкий, чем класс непрерывных функций. Определение 1. Пусть X,Y - топологические пространства. Отображение f: X ^ Y называется разреженно непрерывным (scattered continuous) или функцией SC , если для любого подмножества A c X, A функция f | a имеет точку непрерывности. Характеристика разреженно непрерывных функций приведена в [2]. Теорема 1. Пусть X - полное метрическое пространство и функция f: X ^ Ж.. Тогда следующие условия эквивалентны: (1) f: X ^ К - разреженно непрерывная функция; (2) пространство X имеет счетное замкнутое покрытие {F , такое, что функция f |f непрерывна для любого i е N . Используя данную характеристику, доказываем следующую теорему. Теорема 2. Пусть K - выпуклый компакт и SC(K) - пространство всех ве-щественнозначных разреженно непрерывных функций, заданных на компакте K . Следующие условия эквивалентны: (1) V (K) c SC (K); (2) множество крайних точек компакта K не более чем счетно. Доказательство. Необходимость. Предположим, что |extr K| > К0. Тогда существует континуальное совершенное подмножество K0 c extr K . Пусть множество A c K0 - счетное и всюду плотное. Рассмотрим на подмножестве K0 функцию f: K ^ Ж., такую, что f (х) = (2' если xeA' Ясно, что функция /\к0 не (0, если х g A. имеет точек непрерывности и, значит, функция f : K ^ Ж. не является разреженно непрерывной функцией. Тем не менее, функция f является выпуклой. Действительно, для любых 0

Скачать электронную версию публикации