On homeomorphisms of spaces х[1,а] with the Sorgenfrey topology.pdf В статье используются следующие обозначения: полуинтервал I = (0,1] рассматривается в топологии Зоргенфрея, т.е. базу окрестностей точки x образуют множества вида (x -е, x], е> 0. Для произвольного ординала а интервал [1, а] наделяется порядковой топологией. Хорошо известно, что отрезок ординалов [1, а] является компактом. Теорема 1. Пусть у - произвольный ординал и n е N. Тогда пространства I х [1, юу ] и I х [1, юу • n] являются гомеоморфными. Доказательство. Представим пространство I х [1, юу] следующим образом: n-1 ( k k +11 1 х [1, юу ] = U , — х [1, юу ] ~ (I Ц...Ц I )х [1, юу ] ~ k=0 V n n j - (I х [1,юу])u(I х [1,юу])Ц...Ц(I х [1,юу]). Нетрудно видеть, что пространство (Iх[1,юу])U(Iх [1,юу])П.И(Iх[1,юу]) гомеоморфно пространству I х [1, юу • n]. Теорема доказана. ■ Лемма 2. Любое открыто-замкнутое подмножество V в отрезке можно представить как v = цI,, i =1 где Ii =(a,, bi ]. Доказательство. Для каждой точки x е V обозначим через x-ex = inf {x-е : (x-е,x] с V} и x + 5x = sup{x + 5: (x-ex,x + 5] с V}. Нетрудно видеть, что точка x -ex gV, поскольку интервал (x -ex, x + 5x ] -наибольший, входящий в V , а точка x + 5x e V в силу его замкнутости. Положим Vx = (x -ex, x + 5x ]. Ясно, что Vx с V . Заметим, что если x Ф x', то Vx = Vx' либо Vx п Vx' = 0 . Действительно, если Vx fl Vx' Ф0 и Vx Ф Vx', то Vx u Vx' содержит точки x и x' одновременно, а это противоречит тому, что интервалы Vx наибольший, входящий в V . Очевидно, что V = U Vx . Семейство {Vx }xeI содержит только счетное число xeI непересекающихся интервалов, так как отрезок I является сепарабельным пространством. ■ Теорема 3. Пространства I и I x [1, ю] не являются гомеоморфными. Доказательство. Предположим, что существует гомеоморфизм на Ф: I х [1, ю] ^I. Так как I x{n} - открыто-замкнутое множество, то ф(I x{n}) - открыто-замкнутое подмножество в отрезке I. Согласно лемме 2, да ф( x{n}) = ЦI" , где I" = (a", b" ] для любого n e N. i=1 Для обратного отображения ф-1 и открыто-замкнутого подмножества (an, b" ] с I по лемме 2 имеем Ф-1 ((" ) = ф-1 ((an, b" ]) = Ц Ih, (1) j=1 где Ifj = (c"j, dfj ] x {n} для любого n e N. {ч да /• ч да С" i } u {d",} является счетным. Следователь- 'J'i, j,n=1 I ■J >i, j,n=1 {\ да /• \ да с"j} , ^ u {d"j} , ^. Это означает, что для любого n e N существуют номера in и jn такие, что (о^n) e (c",j" ,dlln )x{n}c . () Ясно, что lim (x0,n) = (x0,ю) и lim ф((x0,n)) = ф((x0,ю)). Не нарушая общности п^да п^да (если нужно, переходя к подпоследовательности), можно считать, что ф^о, п^ф^о, п + 1)

Скачать электронную версию публикации