Asymptotic expansion of the solution of the bisingularly perturbed elliptic equation.pdf Постановка задачи Рассмотрим задачу Дирихле для эллиптического уравнения eAu-(x2+y2)u = fx, y), (x, y)eD = {(x, y)| x2+y2"2 (т)|>1 (s)s V о ( т W1 (т) = -f3 (Ф) >2 (т)|>1 (s)s V о ( т I А W4k-2 (т) = £о,к-1 (ф) >2 (т)| (т) | y2 (s)s3/2ds s )s5/2 ds т)1 ^ ds vs >2 (т) | > (s )V s. V 0 (т) = g1,k-1 (ф) s W sds 4k-1 W4k (т) = g2,k-1 (Ф) >2 (т)| >1 (s) s3 V о ( т W4k+1 (т) = &,к-1 (Ф) >2 (т)| >1 (s) s (тп ^ (s)s3/2ds (ти ^ (s)s5l2ds keN. Для Vk w^, Ф)^0 при т^да; w^, Ф) e Сда( Д), k = -2,-1,о,.... Приступим теперь к решению задачи (8): 1 д 1 д2 - + д2 П-( -ц2п)2 п = о, 2 я±2 ц4дп2 (1 -ц2п)2 дп (1 -ц2п): П(0, Ф) = -V(1, Ф). Здесь тоже можно приближенно заменить уравнение (8) более простым, т.е. вместо уравнения (8) можно рассмотреть уравнение д 2П дп2 (8.1) -(1 -ц2п) п = о, с условиями П(о, Ф) = -V(1, Ф), lim П(п,Ф) = о . п^да Подставляя в (8.1) ряд П(п,Ф,= (п,Ф)н-2к, получим д 2 по (д Ч + V дп2 дп2 о Отсюда д 2 По дп2 д 2nj дп2 к=о ^ да (д2пк ц2к = о, j--п! +2ппо Ц2 +Z --Пк +2ппк-1 -п2п к - 2 дп2 к=2 п^да 1 -П =-2пПо, П (о,Ф) = о, lim п (п,Ф) = о, п^да д 2П ~~t -Пк = -2ппк-1 +П2пк-2> к ^ 2 , дп П2к (° Ф) = -vk С1, Ф) ,lim П2к (п Ф) = 0 , п^вд П2к+1 (О, ф) = О, lim П2к+1 (п ф) = 0 . Следовательно, По (п,Ф) = -Vo (1,ФКп , П1 (п,Ф) = -1Vo (1,ф)п(п + 1Кп , П2 (п,Ф) = -8Vo (1,Ф)п(( + 2п2 + 3п + 3) - V (1,фКп , П2к+! (п,Ф) = P(п,ФКп,P(О,Ф) - О , keN. П2к (п,Ф) = P(п,ФКп -vk (1,Ф)е-п,P(О,Ф) - О , Р(п,Ф) - некоторый многочлен. Ук,пк (п,Ф)^ О,п пк (п,Ф) £ Cш (D1) , к = О,1,.... Оценка остаточного члена Rn(r, Ф, е) Пусть Un(r, Ф, е) = Vn(r, Ф, е) + W^Cr Ф, и) + П2п+1(п, Ф, и), Rn(r, Ф, е) = u(r, Ф, е) - un(r, Ф, е), n ГДе Vn (r, ф, е) = Е Vk (r, Ф)ек , W4n+2 (т ф и) = к=О 4 n+ 2 2n+1 = S w (ЛФ)ик, П2n+1 (n,ф, и)= Snk (п,Ф)и2к. к=-2 к=О Тогда для остаточного члена получим задачу: еДRn(r, ф, е) - r2Rn(r, ф, е) = O^1), (r, ф)6D1 = {(r, ф)|О

Скачать электронную версию публикации