О двух определениях степени функции над ассоциативным коммутативным кольцом | Прикладная дискретная математика. 2017. № 37. DOI: 10.17223/20710410/37/1

Пусть R - ассоциативное коммутативное кольцо и р: R^m ^ R, где m ^ 0. Обозначим через degn р наименьшее число n ^ -1, такое, что р представима многочленом степени n от m переменных над R. (Степенью нулевого многочлена считаем -1.) Пусть также deg_RM р обозначает наименьшее число n ^ -1, такое, что d_vi .. .d_Vn+1 р = 0 для всех v\,... ,v_n+\ £ R^m. Здесь (d_v ф)(х) = ф(х + v) - ф(х) для любых v,x £ R^m и любой функции ф: R^m ^ R. Если такого числа n не существует, то полагаем соответственно degn р = или deg_RM р = те. В работе рассматривается проблема характеризации класса D всех ассоциативных коммутативных колец R, таких, что эти степени совпадают для функций над R, т. е. deg_n р = deg_RM р для всех m ^ 0 и всех функций р: R^m ^ R. Проблема решается в случае, когда аддитивная группа R кольца R принадлежит некоторым широким классам абелевых групп. Основные результаты: 1) если R периодична или конечно порождена, то R £ D тогда и только тогда, когда R = Z/dZ для некоторого свободного от квадратов числа d ^ 1; 2) если R не редуцирована, то R £ D тогда и только тогда, когда R = (Z/dZ) ® Q для некоторого свободного от квадратов числа d ^ 1; 3) если R является прямой суммой подгрупп ранга 1, то R £ D тогда и только тогда, когда R = Z/dZ или R = (Z/dZ) ® Q для некоторого свободного от квадратов числа d ^ 1; 4) если R редуцирована и копериодична, то R £ D тогда и только тогда, когда R = П (Z/pZ) для некоторого множества P peP простых чисел. Доказательство этих результатов основано на том факте, что любое кольцо из D является E-кольцом.