О числе однородных невырожденных p-ичных функций заданной степени | Прикладная дискретная математика. 2018. № 41. DOI: 10.17223/20710410/41/1

Пусть p - простое число, F = GF(p), V_n - n-мерное векторное пространство над F, е - базис пространства V_n. Пусть также р: V_n ^ F. Функция р называется e-однородной, если р(х) = n_v,_e(x) для всех х G Vn, где n_v,_e - однородный многочлен от n переменных над F, имеющий степень не более p - 1 по каждой переменной, а x - набор координат вектора х в базисе е. Функция р называется невырожденной, если deg р ^ 1 и deg d_vр = (deg р) - 1 для любого v G V_n \ {0}, где (d_vр)(х) = р(х + v) - р(х) для всех v,x G V_n. Получена формула для числа HN_p(n, d) е-однородных невырожденных функций р: V_n ^ F, имеющих степень d (это число не зависит от е), а именно: если n ^ 1 и d G {1,... ,n(p - 1)}, n k ^p то HNp(n,d) = Е (-1)^fcp^(2)+{"^dfe}p n = Е (-1)^|S|p^CT(S)-|S|+{n dS|}p, где k=0 SC{1.....n} n - биномиаль- k m \ - обобщённый биномиальный коэффициент порядка p ^dp ^p ный коэффициент Гаусса; ct(S) - сумма всех элементов множества S. Доказано, что HN_p(n, d) ^ p^{d}p - 1 - (pⁿ - 1) (p^{ d }p - 1 J /(p - 1) для любых d ^ 1 и jnj n ^ d/(p-1). Используя эту оценку, получаем, что если d ^ 3, то HN_p(n, d) ~ p^{d}p при n ^ то.