О стабилизаторе столбца в матричной группе над кольцом многочленов | Прикладная дискретная математика. 2020. № 48. DOI: 10.17223/20710410/48/4

Представлен оригинальный нестандартный подход к описанию структуры стабилизатора столбца в группе (n х n)-матриц над кольцом многочленов или кольцом многочленов Лорана от n переменных. Стабилизатор описывается как расширение подгруппы достаточно простой структуры с помощью (n-1х n-1)- матричной группы конгруентного типа над соответствующим кольцом от n-1 переменных. Рассмотрены случаи, когда n ≤ 3. Для n=2 стабилизатор определяется как однопараметрическая подгруппа, а доказательство осуществляется прямым вычислением. Случай n=3 является нетривиальным, для него применяется упомянутый выше подход. Приведены следствия к полученный результатам. В частности доказано, что для рассматриваемый стабилизатор не порождается конечным подмножеством вместе с так называемыми элементарными стабилизирующими данный вектор матрицами. Отмечается, что ряд ключевых подгрупп групп автоморфизмов групп определяются как стабилизаторы столбцов в матричных группах. Например, так описывается подгруппа IAut(M) автоморфизмов тождественных по модулю коммутанта свободной метабелевой группы M ранга r. Указанный подход демонстрирует параллелизм теорий групп автоморфизмов групп и матричных групп, существующий для ряда известных групп. Он позволяет использовать результаты о матричных группах для описания групп автоморфизмов. В работе использованы классические теоремы Суслина, Кона, а также Бахмута и Мочизуки.