Обзор посвящён исследованиям метрических дополнений и метрической регулярности в булевом кубе и в произвольных конечных метрических пространствах. Пусть A - произвольное подмножество конечного метрического пространства M, а A' - метрическое дополнение A (множество всех точек M, находящихся на максимально возможном расстоянии от A). Если метрическое дополнение множества A' совпадает с множеством A, то A называется метрически регулярным. Задача изучения метрически регулярных множеств была поставлена Н. Токаревой в 2012 г. в процессе изучения метрических свойств бент-функций. Бент-функции имеют важные приложения в криптографии и теории кодирования, а также являются одним из первых примеров метрически регулярного множества. В данной работе приводится обзор основных задач и результатов, связанных с понятием метрической регулярности, в частности задача поиска наибольших и наименьших метрически регулярных множеств (как в общем случае, так и в случае фиксированного радиуса покрытия), задача нахождения метрического дополнения и определения метрической регулярности линейных кодов. Приведены результаты, связанные с метрической регулярностью множеств функций, построенных на разбиении пространства, а также кодов Рида - Маллера.
Скачать электронную версию публикации
Загружен, раз: 76
- Title О метрических дополнениях и метрической регулярности в конечных метрических пространствах
- Headline О метрических дополнениях и метрической регулярности в конечных метрических пространствах
- Publesher
Tomsk State University - Issue Прикладная дискретная математика 49
- Date:
- DOI 10.17223/20710410/49/3
Ключевые слова
метрически регулярное множество, метрическое дополнение, радиус покрытия, бент-функция, код Рида - Маллера, линейный код, metrically regular set, metric complement, covering radius, bent function, deep hole, Reed, Muller code, linear codeАвторы
Ссылки
Tokareva N. Duality between bent functions and affine functions. Discrete Mathematics, 2012, vol.312, no. 3, pp. 666-670.
Tokareva N. Bent Functions: Results and Applications to Cryptography. Academic Press, 2015. 220 p.
Rothaus O. S. On “bent” functions. J. Combin. Theory. Ser. A, 1976, vol. 20, no. 3, pp. 300-305.
Cusick T. W. and Stanica P. Cryptographic Boolean Functions and Applications. Academic Press, 2017. 288 p.
Mesnager S. Bent Functions: Fundamentals and Results. Springer International Publishing, 2016. 544 p.
Tokareva N. N. The group of automorphisms of the set of bent functions. Discrete Math. Appl., 2010, vol. 20, no. 5-6, pp.655-664.
Stanica P., Sasao T., and Butler J. T. Distance duality on some classes of Boolean functions. J. Combin. Math. Combin. Computing, 2018, vol. 107, pp. 181-198.
Oblaukhov A. K. Maximal metrically regular sets. Siberian Electronic Math. Reports, 2018, vol. 15, pp. 1842-1849.
Oblaukhov A. A lower bound on the size of the largest metrically regular subset of the Boolean cube. Cryptogr. Commun., 2019, vol. 11, no. 4, pp. 777-791.
Oblaukhov A. K. Metric complements to subspaces in the Boolean cube. J. Appl. Industr. Math., 2016, vol. 10, no. 3, pp. 397-403.
Oblaukhov A. https://arxiv.org/abs/1912.10811 - On metric regularity of Reed - Muller codes, 2020.
Cohen G., Honkala I., Litsyn S., and Lobstein A. Covering Codes. Elsevier, 1997, vol. 54.
Cohen G., Lobstein A., and Sloane N. Further results on the covering radius of codes. IEEE Trans. Inform. Theory, 1986, vol. 32, no. 5, pp. 680-694.
Graham R. L. and Sloane N. On the covering radius of codes. IEEE Trans. Inform. Theory, 1985, vol. 31, no. 3, pp. 385-401.
Tokareva N., Gorodilova A., Agievich S., et al. Mathematical methods in solutions of the problems presented at the Third International Students’ Olympiad in Cryptography. Prikladnaya Diskretnaya Matematika, 2018, no. 40, pp. 34-58.
Neumaier A. Completely regular codes. Discrete Math., 1992, vol. 106, pp. 353-360.
Kutsenko A. Metrical properties of self-dual bent functions. Designs, Codes Cryptography, 2020, vol. 88, no. 1, pp. 201-222.
Kolomeec N. A. and Pavlov A. V. Svoystva bent-funktsiy, nakhodyashchikhsya na minimal’nom rasstoyanii drug ot druga [Properties of bent functions which are at minimal distance from each other]. Prikladnaya Diskretnaya Matematika, 2009, no. 4(6), pp. 5-20. (in Russian)
Kolomeets N. A. Enumeration of the bent functions of least deviation from a quadratic bent function. J. Appl. Industr. Math., 2012, vol. 6, no.3, pp. 306-317.
Kolomeec N. A. Verkhnyaya otsenka chisla bent-funktsiy na rasstoyanii 2k ot proizvol’noy bent-funktsii ot 2k peremennykh [Upper bound on the number of bent functions which are at distance 2k from an arbitrary bent function]. Prikladnaya Diskretnaya Matematika, 2014, no. 3(25), pp. 28-39. (in Russian)
Kolomeec N. The graph of minimal distances of bent functions and its properties. Designs, Codes Cryptography, 2017, vol. 85, no.3, pp. 395-410.
Berlekamp E. and Welch N. Weight distributions of the cosets of the (32, 6) Reed - Muller code. IEEE Trans. Inform. Theory, 1972, vol. 18, no. 1, pp. 203-207.
McLoughlin A. M. The covering radius of the (m - 3)-rd order Reed - Muller codes and a lower bound on the (m - 4)-th order Reed Muller codes. SIAM J. Appl. Math., 1979, vol. 37, no. 2, pp. 419-422.
Schatz J. The second order Reed - Muller code of length 64 has covering radius 18. IEEE Trans. Inform. Theory, 1981, vol. 17, no. 4, pp. 529-530.
Mykkeltveit J. The covering radius of the (128, 8) Reed - Muller code is 56. IEEE Trans. Inform. Theory, 1980, vol. 26, no. 3, pp. 359-362.
Hou X. D. Covering radius of the Reed - Muller code R(1, 7) - a simpler proof. J. Combin. Theory. Ser.A, 1996, vol.74, no. 2, pp.337-341.
Wang Q. The covering radius of the Reed - Muller code RM(2, 7) is 40. Discrete Math., 2019, vol. 342, no. 12, Article 111625.
О метрических дополнениях и метрической регулярности в конечных метрических пространствах | Прикладная дискретная математика. 2020. № 49. DOI: 10.17223/20710410/49/3
Скачать полнотекстовую версию
Загружен, раз: 189