О некоторых свойствах произведения Шура - Адамара для линейных кодов и их приложениях | Прикладная дискретная математика. 2020. № 50. DOI: 10.17223/20710410/50/5

Произведение Шура - Адамара активно используется при криптоанализе асимметричных кодовых криптосистем типа Мак-Элиса, основанных на линейных кодах. Именно, это произведение успешно применяется при криптоанализе кодовых систем на подкодах обобщённых кодов Рида - Соломона, на двоичных кодах Рида - Маллера и их подкодах коразмерности 1, на соединении некоторых известных кодов. В качестве способа усиления стойкости криптосистемы авторами ранее предложена система на тензорном произведении линейных кодов. С целью анализа стойкости этой системы в настоящей работе исследуются свойства произведения Шура - Адамара для тензорного произведения произвольных линейных кодов. В результате получены необходимые и достаточные условия, когда s-я степень тензорного произведения кодов перестановочно эквивалентна прямой сумме кодов. Этот результат позволяет, в частности, выбирать параметры линейных кодов так, чтобы произведение Шура - Адамара для тензорного произведения совпадало со всем пространством, в котором это произведение определено. Таким образом, могут быть определены параметры линейных кодов, при которых атака на основе произведения Шура - Адамара, применённого к публичному ключу, не проходит. Получены некоторые новые свойства произведения Шура - Адамара для линейных кодов, которые позволили, в частности, доказать неразложимость двоичных кодов Рида - Маллера. Как следствие, доказана теорема о структуре группы перестановочных автоморфизмов прямой суммы неразложимых кодов.