Дискретная замкнутая одночастичная цепочка контуров | Прикладная дискретная математика. 2021. № 52. DOI: 10.17223/20710410/52/8

Рассматривается дискретная динамическая система, называемая замкнутой цепочкой контуров, которая принадлежит классу контурных сетей, введённому А. П. Буслаевым. Замкнутая цепочка содержит N контуров, на каждом из которых имеется 2m ячеек и одна частица. Контур имеет общую точку, называемую узлом, с каждым из двух соседних контуров слева и справа. Узлы делят контур на две равные части. В каждый момент t = 0,1, 2,... частица перемещается на одну ячейку в заданном направлении, если нет задержек. Если две частицы стремятся пересечь один и тот же узел, то возникает задержка. В этом случае перемещается только частица контура, расположенного слева от узла. Вводится величина потенциальной задержки частицы, зависящая от времени и принимающая значения 0 или 1. При t ≥ m равенство этой величины 1 означает, что время до задержки частицы не превышает m. Сумма потенциальных задержек всех частиц называется потенциалом задержек. Начиная с некоторого момента времени, состояния системы периодически повторяются (предельные циклы). Отношение числа перемещений частицы к периоду цикла называется средней скоростью частицы. Доказаны следующие теоремы: 1) Потенциал задержек является невозрастающей функцией от времени, причём на предельном цикле значение потенциала задержек не изменяется и равно неотрицательному целому числу не больше 2N/3. 2) Если средняя скорость частиц на предельном цикле меньше 1, то период цикла (возможно, не являющийся наименьшим) равен (m + 1)N. 3) Средняя скорость частиц равна v = 1 - H/((m + 1)N), где H - потенциал задержек на предельном цикле. 4) Для любого m существует N, такое, что существует предельный цикл с потенциалом задержек H > 0 и, следовательно, со средней скоростью v < 1.