We study the concept of the planarity rank suggested by L.M. Martynov for semigroup varieties. Let V be a variety of semigroups. If there is a natural number r ^ 1 that all V-free semigroups of ranks ^ r allow planar Cayley graphs and the V-free semigroup of a rank r + 1 doesn't allow planar Cayley graph, then this number r is called the planarity rank for variety V. If such a number r doesn't exist, then we say that the variety V has the infinite planarity rank. We prove that a non-trivial variety of commutative semigroups either has the infinite planarity rank and coincides with the variety of semigroups with the zero multiplication or has a planarity rank 1, 2 or 3. These estimates of planarity ranks for varieties of commutative semigroups are achievable.
Download file
Counter downloads: 219
- Title The ranks of planarity for varieties of commutative semigroups
- Headline The ranks of planarity for varieties of commutative semigroups
- Publesher
Tomsk State University - Issue Prikladnaya Diskretnaya Matematika - Applied Discrete Mathematics 4(34)
- Date:
- DOI 10.17223/20710410/34/4
Keywords
полугруппа, граф Кэли полугруппы, многообразие полугрупп, свободная полугруппа многообразия, ранг планарности многообразия полугрупп, коммутативная полугруппа, многообразие коммутативных полугрупп, ранг планарности многообразия коммутативных полугрупп, semigroup, Cayley graph of semigroup, variety of semigroups, free semigroup of variety, planarity rank for semigroup variety, commutative semigroup, variety of commutative semigroups, planarity rank for variety of commutative semigroupsAuthors
References
Соломатин Д. В. Строение полугрупп, допускающих внешнепланарные графы Кэли jj Сиб. электрон. матем. изв. 2011. Т. 8. С. 191-212.
Соломатин Д. В. Свободные частично коммутативные нильпотентные полугруппы с планарными графами Кэли jj Вестник Омского университета. 2014. Вып. 4. С. 28-36.
Соломатин Д. В. Прямые произведения циклических полугрупп, допускающие планарный граф Кэли jj Сиб. электрон. матем. изв. 2006. Т. 3. С. 238-252.
Соломатин Д. В. О коммутативных полугруппах с планарными графами Кэли: дис.. канд. физ.-мат. наук. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2006. 107 с.
Knauer K. and Knauer U. Toroidal embeddings of right groups jj Thai J. Math. 2010. V. 8. No. 3. P. 483-490.
Knauer K. and Knauer U. On planar right groups jj Semigroup Forum. 2015. V. 92. No. 1. P. 142-157.
Maschke H. The representation of finite groups, especially of the rotation groups of the regular bodies of three- and four-dimensional space, by Cayley's color diagrams jj Amer. J. Math. 1896. V. 18. No. 2. P. 156-194.
Беленкова Ж. Т., Романьков В. А. Регулярные графы Кэли jj Сиб. мат. журн. Деп. в ВИНИТИ, 1997. № 802-В97. 37 с.
Беленкова Ж. Т. Плоские графы Кэли: дис.. канд. физ.-мат. наук. Омск: Изд-во Ом. ун-та, 1998. 101 с.
Georgakopoulos A. and Hamann M. The Planar Cayley Graphs are Effectively Enumerable. https://arxiv.org/abs/1506.03361, 2015.
Zhang X. Clifford semigroups with genus zero jj Proc. Intern. Conf. Semigroups, Acts and Categories with Applications to Graphs, University of Tartu, June 27-30, 2007. Tartu: Estonian Mathematical Society, 2008. P. 151-160.
Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. М.: Наука, 1989. 448 с.
Мартынов П. О., Соломатин Д. В. Конечные свободные коммутативные полугруппы и полугруппы с нулём, допускающие обобщенные внешнепланарные графы Кэли jj Вестник Омского университета. 2014. Вып. 3. С. 22-26.
Мартынов П. О. Конечные свободные коммутативные моноиды, допускающие обобщенно внешнепланарные графы Кэли jj Вестник Омского университета. 2015. Вып. 4. С. 6-9.
Коробейников А. Г., Кутузов И. М. Алгоритм обфускации jj Кибернетика и программирование. 2013. №3. С. 1-8.
http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?presentid=12900 - Новые проблемы алгебры и логики. Юбилейное 900-е заседание семинара. Омский алгебраический семинар, ОФ ИМ СОРАН, г. Омск, 12 ноября 2015.
Соломатин Д. В. Ранги планарности многообразий коммутативных моноидов // Вестник Омского университета. 2012. Вып. 4. С. 41-45.
Соломатин Д. В. Планарные многообразия коммутативных полугрупп // Вестник Омского университета. 2015. Вып. 2. С. 17-22.
Соломатин Д. В. Планарные многообразия полугрупп // Сиб. электрон. матем. изв. 2015. Т. 12. С. 232-247.
Kisielewicz A. Varieties of commutative semigroups // Trans. Amer. Math. Soc. 1994. V. 342. No. 1. P. 275-306.
Head T. J. The varieties of commutative monoids // Nieuw Archief voor Wiskunde. 1968. V. 16. No. 3. P. 203-206.
Perkins P. Bases for equational theories of semigroups //J. Algebra. 1969. V. 11. No. 2. P. 298-314.
Шеврин Л. Н., Верников Б. М., Волков М. В. Решетки многообразий полугрупп // Изв. вузов. Математика. 2009. №3. С. 3-36.
Кон П. Универсальная алгебра. М.: Мир, 1968. 352 с.
Емеличев В. А, Мельников О. И., Сараванов В. И., Тышкевич Р. И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990. 384с.
Шеврин Л. Н. Полугруппы. Гл. IV // Общая алгебра / под общ. ред. Л. А. Скорнякова. М.: Наука, 1991. Т. 2. С. 11-191.
Шеврин Л. Н., Мартынов Л. М. О достижимых классах алгебр // Сиб. мат. журн. 1971. Т. 12. №6. С. 1363-1381.
Соломатин Д. В. Конечные свободные коммутативные полугруппы с планарными графами Кэли // Математика и информатика: наука и образование. Межвузовский сборник научных трудов. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2003. Вып. 3. С. 32-38.
Соломатин Д. В. Конечные свободные коммутативные моноиды, допускающие планар-ный граф Кэли // Вестник Омского университета. 2005. Вып. 4. С. 36-38.
Соломатин Д. В. Прямые произведения циклических моноидов и полугрупп с нулем, допускающие планарный граф Кэли // Математика и информатика: наука и образование. Межвузовский сборник научных трудов. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2006. Вып. 5. С. 51-63.
Соломатин Д. В. Свободные частично коммутативные полугруппы и n-веерные полурешетки с планарными графами Кэли // Математика и информатика: наука и образование. Межвузовский сборник научных трудов. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2009. Вып. 8. С. 36-39.
Мартынов Л. М., Соломатин Д. В. Полугруппы вычетов с циклическими группами обратимых элементов, допускающие планарные графы Кэли // Вестник Омского университета. 2012. Вып. 2. С. 57-62.
Соломатин Д. В. Ранги планарности многообразий коммутативных полугрупп // Материалы Междунар. конф. по алгебре, анализу и геометрии. Казань: Казанский университет, 2016. C. 318-319.
The ranks of planarity for varieties of commutative semigroups | Prikladnaya Diskretnaya Matematika - Applied Discrete Mathematics. 2016. № 4(34). DOI: 10.17223/20710410/34/4