Generation of the alternating group by semiregular involutions.pdf В ряде работ Дж. Бреннера [1] и других авторов изучался вопрос об экспонентекласса сопряженных элементов C конечной неабелевой группы G, то есть минимальномe, для которого выполняется условие Ce = G. Показано, что в знакопеременнойгруппе An почти все классы сопряженных элементов имеют экспоненту e, меньшуюили равную 4. Единственным классом, имеющим экспоненту 4, как доказано в [2],является класс полурегулярных инволюций.Пусть N = 2n.Условимся обозначать цикловую структуру [h] подстановки h через [t1ai,t2a2,...,tmam ]. Это означает, что в разложении подстановки h на независимые циклы естьровно ai циклов длины t^i Е {1, 2,..., m }.Определение. Подстановка h степени N называется полурегулярной инволюцией,если [h] = [2n].Множество всех полурегулярных инволюций степени N обозначим через Jn . Мощностьэтого множества равна (N - 1)!!.Утверждение 1. Подстановка h принадлежит множеству Jn 2 тогда и толькотогда, когда [h] = [t12ei,t22^2,...,tm2em].Утверждение 2. При N = 4 справедливо равенство Jn 4 = AN, при N = 4 выполненоJn = W4, где W4 - четверная группа Клейна.Утверждение 3. Множество Jn3 не содержит подстановок с цикловыми структурами[1N-3 , 31], [11, 2(n-4)/2, 31], [1N-5 , 51], [2(n-8)/2, 31, 51], [1N-5 , 21, 31], [1N-7 , 31, 41],[11, 35].Напомним [3], что длиной /(G ,M ) группы G = относительно системыобразующих M называется минимальное г, при котором выполняется равенствГ оG = U Mk, а шириной d(G, M ) называется минимальное число слоев M k, которы-k=1ми может быть исчерпана группа G.Утверждение 4.а) Если n четно и n = 2, то < Jn > = AN, d(AN, Jn ) = 1, /(AN, Jn ) = 4. При n = 2выполнено Jn 4 = W4.б) Если n нечетно, то = SN, d(SN, Jn ) = 2. При n>1 выполнено l(SN, Jn ) = 5;при n = 1 справедливо /(SN, Jn ) = 2, где SN - симметрическая группа.Рассчитаны мощности слоев Jnk для N ^ 20. В приводимой ниже таблице ука-зано количество классов сопряженных элементов, содержащихся в слое Jт n k дляk = 2, 3, 4,5.N 2 3 4 52 14 26 3 4 6 58 5 8 1210 7 16 22 2012 11 36 4014 15 62 69 6616 22 113 11818 30 186 195 19020 42 313 317

Скачать электронную версию публикации