Bout the fact of detecting the noise in finite Markov chain with an unknown transition probability matrix.pdf Задача выявления факта наличия вкраплений в случайных последовательностяхисследована в целом ряде работ (см., например, [1-4]. При этом обычно предполагаютсяизвестными тип и параметры распределения исходной последовательности. Так,в [4] рассмотрена последовательность, полученная по полиномиальной схеме с известнымивероятностями исходов, и установлено, что гарантированно обнаружить фактналичия независимых вкраплений возможно только в случае, когда объем вкрапленийрастет по порядку быстрее корня от длины исходной последовательности. Аналогичныйфакт установлен в [3] для последовательности, образующей простую цепь Марковас известной матрицей переходных вероятностей. В тезисах приводится обобщениерезультата [3] на случай простой цепи Маркова с неизвестной матрицей переходныхвероятностей.Пусть X = {X i , ...,X n,...} -простая конечная неразложимая и ацикличная цепьМаркова с N исходами, которые, не ограничивая общности, будем обозначать числами1 ,...,N , и фиксированной матрицей переходных вероятностей П = ||na,k||wxn . Соответственноопределены стационарные вероятности цепи X , которые обозначим через(n i,..., nN).Будем предполагать, что на множестве A = {1 ,...,N } задана последовательностьнезависимых случайных преобразований Ф = {p i, ...,pn, ...}, полученных по схеме серий(n - номер серии) так, что для всех i = j, i, j = 1, ...,n ,..., преобразования и pjнезависимы и каждое из них определяется одной матрицей переходных вероятностейP = I M N xN по правилу P{p^(a) = b} = pa,b, i = 1 ,...,n ,... Определим случайнуюпоследовательность Z = {Z 1,..., Zn, ...} следующим образом: Zi = ^j(Xj), i = 1,..., n ,...,и будем писать Z = Ф(Х).Относительно наблюдаемой последовательности Y алфавита A выдвигаются двесложные гипотезы H0: Y = X и H1: Y = Ф(Х). Причем при обеих гипотезах, в отличиеот [3], будем предполагать, что матрица П = ||na,b||NxN неизвестна, а матрицаР = ||Pa,b||NxN также неизвестна, но удовлетворяет ограничению lim pa,a = 1, a . П- A.Определим статистику2 I vabc vabvbcхlПn = a,b^E,c€ A. VabVbc/vbгде Vabc = E 4 Yi = a, Y +1 = b,Yi+2 = c } ; = E l { Yi = a,Yi+1 = b }; va =n i=1 i=1= E 4 Yi = a } , a,b, c . A. Статистики типа хП применяются для различения ги-i=1потез о порядке цепи Маркова (см., например, [5]). Известно, что при гипотезе Н0при n ^ то распределение хП сходится к распределению хи-квадрат с N степенямисвободы.При сделанных предположениях справедлива следующая теорема.Теорема 1. Если при n ^ то матрица переходных вероятностей Р преобразованийФ меняется так, что для некоторых a, b, c . A выполнено условиел/ПЕй,,ь(Пь,с - Пу,с) (пуПа,ь - ПЬПа,у) ^ ТО,уyе=лbто статистический критерий различения гипотез Н0 и Н1 на основе статистики хявляется состоятельным.Следствие 1. Если при n ^ то для всех a = b, a,b . A, справедливы оценкиp«,b = f (n )(1 + ° (1)) и л/ n f (n) ^ то, стационарное распределение (п1,...,п ^ ) цепи Xявляется равномерным и в матрице П = ||na,k||wxn есть хотя бы два различных элемента,то критерий различения гипотез Н0 и Н1 на основе статистики хП являетсясостоятельным.Замечание. Статистика хП применима для различения гипотез Н0 и Н1 тольков случае, когда известно, что последовательность X образует простую цепь Маркова.

Скачать электронную версию публикации