The second coordinate sequence of a linear recurrence of maximum period over ring Z ₈.pdf Пусть R = Z8, F(x) E R[x] — многочлен максимального периода (МП-многочлен) степени m, т. е. унитарный (со старшим коэффициентом e) многочлен степени m с максимально возможным при данном m периодом T(F) = 22(2m — 1) [1]. Обозначим через Lr(F) множество всех линейных рекуррент над R с характеристическим многочленом F(x), а через Lr(F)* —подмножество линейных рекуррент u E Lr(F) периода T(u) = T(F), т.е. линейных рекуррентных последовательностей максимального периода (МП ЛРП). Подмножество K = {k0,k1} С R назовем координатным множеством кольца R (см., например, [1]), если справедливы соотношения ko E 2R, k1 E R*. Примером координатного множества кольца R является двоичное координатное множество K = {0,1}. Пусть a E R, хорошо известно разложение a = ao + 2a1 + 22a2, аг = yk (a) E K, i = 0,1,2, называемое разложением элемента a в координатном множестве K. Элемент a2 будем называть старшей координатой элемента a в координатном множестве K. На множестве K можно задать структуру поля: a ® b = (a * b), * E { + , ■}. Пусть F(x) E R[x] — унитарный многочлен Галуа (т. е. неприводимый по модулю 2) степени m ^ 5. Рассмотрим последовательность u2 = 7^(u), полученную разложением знаков ЛРП u в координатном множестве K: u2(i) = 7^ (u(i)), i E N0. Для случая, когда многочлен F(x) является отмеченным (T(F) = 2m — 1), в работе [2] найдено разложение второй двоичной координатной последовательности u2 в сумму биномиальных последовательностей. В настоящей работе найдено биномиальное разложение второй координатной последовательности 7^ (u) при произвольном выборе координатного множества K. Пусть в — корень многочлена F(x) в расширении S кольца R, r(S) = {a2 = a : a E S} — координатное множество Тейхмюллера. Тогда знак ЛРП u представляется в виде u(i) = TrR(fej), f E r(S). Пусть также f = Co + 2f 1 + 4^, в = во + 2в1 + 4в2 — разложения элементов f и в в координатном множестве r(S). Тогда справедлива Теорема 1. Для знака последовательности u2 справедливо равенство u2(i) = (2) tr(fo(v+v2)wj)фiS2(i)фS1(i)фgK(itr(foVWj) + tr(f1Wj) + а2^г),tr(foVWj)), где v = в1/90, tr(x) = trT^}(х), многочлен gK определяется лишь выбором K, S2(i) = tr(^oVWi)o2(CoWi) ф 02(CoVWi) ф trfovW^ tr(^1Wi) ф tr(^o^2Wi-1) ф trfovW^; S1 (i) = 04(CoWi) ф 02(^1Wi) ф tr((fo ф ^1)wi)o2(CoWi) ф tr(£oW>3(CoWi) ф tr(^2Wi); 02(x)= E x2i+2j ,Оз(х)= E x2i +2j +2k ,04(x)= E x2i+2j +2' +2S. o

Скачать электронную версию публикации