Classification of the functions over primary ring of residues considered in connection with the method of coordinate lin.pdf Исследование систем уравнений над кольцом Zpm f1(x) = Vb . (1) ft(x) = У, позволяет выделить некоторые классы функций, для которых система (1) обладает свойством внутренней структурности. Любой элемент а примарного кольца вычетов Zp™, где m Е N, m> 1 и p простое, можно однозначно представить в виде а = а(0) + p ■ а(1) + ■ ■ ■ + pm-1 ■ а(т-1), где а^ Е B = {0,... ,p - 1}, называемом разложением элемента а в p-ичном координатном множестве B. Отображения Yj : Zp™ - B, Yj(а) = а(^), j = 0,..., m - 1, называются координатными функциями в координатном множестве B, а элементы а(j) = Yj (а) Е B - координатами j-го порядка элемента а в координатном множестве B. Если при этом ввести на B операции сложения ф и умножения ® по правилу а ф b = y0 (а + b), а ® b = Y0(a ■ b), а, b Е B, то алгебра (B, ф, ®) = GF(p) будет являться полем из p элементов. В работе рассмотрены классы функций над примарным кольцом вычетов Zpm, обобщающие в некотором смысле класс Ppm (n) -полиномиальных функций над данным кольцом. В [1] в общем случае для GE-колец (колец Галуа - Эйзентштейна, т. е. конечных коммутативных цепных колец) показано, что системы полиномиальных уравнений могут быть решены методом покоординатной линеаризации. Данный метод заключается в последовательном нахождении координат неизвестных переменных. Сначала находятся младшие координаты неизвестных переменных путём решения исходной системы над полем B, приведённой по модулю p. Затем находятся остальные координаты путём многократного решения m - 1 систем линейных уравнений над полем B. Показано, что данным свойством обладают не только системы полиномиальных уравнений. Определение 1. Для функции f (x): Z^™ - Zp™ и j Е {0,... , m-1} отображение Yj f: Z^m - B, определяемое по правилу Yj f (а) = Yj(f (a)) для всех а Е Z^™, будем называть её j-й координатной функцией, или j-м координатным отображением. Определение 2. Функцию f (x): Z^™ -^ Zpm назовём вариационно-координатно-полиномиальной (или ВКП-функцией), если для любого j Е {0,... ,m - 1} существует полиномиальная функция pj (x) Е Pp™ (n), j -я координатная функция которой совпадает с j-й координатной функцией функции f(x), т.е. выполняется равенство Yjf (x) = Yj Pj(x), j = 0,... , m - 1 Определение 3. Функцию f (x): Z^ -у Zpm назовем квазивариационно-коорди-натно-полиномиальной (или квази-ВКП-функцией), если выполнены условия: 1) Yof (x) = Yof (x(0)) = go(x(0)), go: Bn - B; 2) для любого j E {0,... , m - 1} существуют функции gji: Bn - B, gj: Bjn - B, i = 1,... , n, над полем B, такие, что справедливо равенство Yjf (x(0),... ,x(j)) = E gji(x(0)) 0 0 gj(x(0),... , x(j-1)). i=1 Определение 4. Функцию f (x): Z^ - Zpm назовем координатно L-линейно разрешимой (или L-КЛР-функцией), где L С {0, ...,m - 1}, если Yj f (x) = = Yjf (x(0),... , x(j)), j = 0,... , m - 1, и при любом j G L, j = 0, существуют такие функции g-д, gj : Bnj - B, i = 1,...,n, что Yjf (x) = E gji(x(0),..., x(j-1)) 0 x(j) 0 gj(x(0),..., x(j-1)), i=1 и при 0 eL существуют такие g0i, g0 EB, i = 1,... , n, что n Y0f (x) = E g0i 0 x() 0 g0. i=1 Класс всех ВКП-функций от n переменных над Zpm обозначим через CPpm (n). Класс всех квази-ВКП-функций от n переменных над кольцом Zpm обозначим QCPpm (n). При заданном подмножестве L С {0,...,m - 1} обозначим класс всех L-КЛР-функций от n переменных над Zpm через CLS^m (n). Обозначим через Vpm (n) класс всех функций над Zpm от n переменных, сохраняющих отношение сравнимости по любому делителю pm или, что то же самое, сохраняющих любую конгруэнцию кольца Zpm . Соотношения между данными классами функций устанавливает следующее утверждение. Утверждение 1. Если L С {1,... , m - 1}, то справедлива цепочка включений Ppm (n) С CP pm (n) С QCPpm (n) С CLS^m (n) С Vpm (n) . При этом если L С {1,... ,m - 1}, то QCPpm(n) С CLS^m(n). Теорема 1. Пусть L = {1,... , m - 1}, тогда справедливы утверждения: 1) верна цепочка равенств Pp2 (n) = CPp2 (n) = QCP p2 (n) = CLS L2 (n); 2) при m ^ 3 верна цепочка включений Ppm (n) С CPpm (n) С QCPpm (n) С CLS^m (n) . Теорема 2. Классы CLS^m (n) и Vpm (n) при L = {1,..., m - 1} совпадают тогда и только тогда, когда одновременно p = 2 и n =1. Следствие 1. Справедливы следующие равенства классов функций над Z4: P4 (1) = CP 4 (1) = QCP 4 (1) = CLS41}(1) = V4 (1). Утверждение 2. При любых n G N и £С {0,...,m - 1} класс L-КЛР-функций CLScpm (n) является замкнутым, то есть \CLScpm (n)] = CLScpm (n). Утверждение 3. При любом n G N класс квази-ВКП-функций QCVpm (n) является замкнутым, то есть [QCPpm(n)] = QCPpm(n). Последние два утверждения приводят к интересному результату. При m ^ 3 в соответствии с теоремой 2 имеем цепочку включений: Ppm (n) С CPpm (n) С QCPpm (n) С С CLSpia"'m 1} (n). При этом в ней классы Ppm (n), QCPpm (n), CCSpil'"'m 1} (n) являются замкнутыми и не равными друг другу. Все четыре рассматриваемых класса Ppm (n), CPpm (n), QCPpm (n), CLSpm,'"'m-1}(n) обладают тем свойством, что системы уравнений (1), порождённые одним из них (т. е. системы, левые части которых /i(x) принадлежат ему), могут быть решены методом покоординатной линеаризации. Данный метод на самом деле является обобщением метода, предложенного в работах А. А. Нечаева и Д. А. Михайлова для класса полиномиальных функций. Для случая примарных колец вычетов Z2m его изложение опубликовано в работах [2, 3].

Скачать электронную версию публикации