Some properties of q-ary bent functions.pdf Пусть P - конечное поле мощности q = 21, l ^ 1, и Q - расширение степени n поля P. Будем рассматривать функции вида F : Q ^ P. Пусть 9 - примитивный элемент поля Q. Периодом функции F будем называть период последовательности u(i) = F(9г), i е N0 [1]. Через Na(F) будем обозначать число решений в поле Q уравнения F(x) = a, a е P. Набор чисел {Na(F) : a е P} будем называть весовой структурой отображения F. Существует несколько подходов к обобщению понятия бент-функции на случай q-ичных отображений [2]. Мы пользуемся определением q-ичной бент-функции, впервые предложенным в работе [3]. В [4] получен ряд результатов, характеризующих период и весовую структуру q-ичных бент-функций. Теорема 1 [4]. Пусть n > 2 и функция F является бент-функцией. Тогда ВД ) = qn-1 + na qn/2-1, где na принимает целые нечётные значения в интервале [- (q - 1), q - 1]. Утверждение 1 [4]. Если n > 2 и F есть бент-функция, то её период t удовлетворяет неравенству t ^ qn/2 - 1. Легко показать, что приведённые результаты справедливы и при n = 2. В [4] также продемонстрировано, что при ряде значений параметров оказывается возможным указать точные значения весовой структуры бент-функции. В данной работе приводятся результаты дальнейших исследований в этом направлении. Заметим, что если период t бент-функции удовлетворяет неравенству t < qn - 1, то, ввиду утверждения 1, значение t делится либо на qn/2 - 1, либо на qn/2 + 1. Теорема 2. Пусть период бент-функции F удовлетворяет неравенству t < qn - 1 и F(0) = c. Тогда 1. Если период F(x) делится на qn/2 + 1, то Va е P\{c} (N0(F) = qn-1 - qn/2-1) , NC(F) = qn-1 + (q - 1)qn/2-1. 2. Если период F(x) делится на qn/2 - 1, то Va е P\{c} (No(F) = qn-1 + qn/2-1) , NC(F) = qn-1 - (q - 1)qn/2-1. Имеет место следующее утверждение, которое представляет в некотором роде обратный результат. Утверждение 2. Пусть е G {-1,1} и весовая структура функции F для некоторого c G P описывается значениями Va G P\{c} (N(F) = qn-1 + eqn/2-1) , NC(F ) = qn-1 - e(q - 1)qn/2-1. Тогда значение периода функции F делится на величину qn/2 - е. Представленные утверждения позволяют в ряде случаев указать точные значения весовой структуры q-ичных бент-функций. Однако, как показывает следующее утверждение, область действия данных результатов существенно ограничена. Утверждение 3. Пусть H - множество всех гомоморфизмов из группы (Q, +) в группу (P, +). Множество функций {F + h : h G H} содержит не более одной функции, период которой строго меньше qn - 1. Таким образом, среди бент-функций вида F + h (где h - гомоморфизм соответствующих групп) не более одной функции может иметь период, значение которого удовлетворяет условиям теоремы 2.

Скачать электронную версию публикации