Hall's polynomials for finite two-generator groups of exponent seven.pdf Пусть Bk = B0(2, 7, k) -максимальная конечная двупорождённая группа периода 7 ступени нильпотентности k. В данном классе групп наибольшей является группа B28, порядок которой равен 720416 [1]. Для каждой из Bk получены рс-представления (power commutator presentation) [1]. Пусть а^1 ... аПп и ayi ... аПп -два произвольных элемента в группе Bk, записанные в коммутаторном виде. Тогда их произведение равно riXn . Г1У1 ПУп - nz1 rtZn И>1 . . . ^ 1 • • • - 1 * * * n * Основой для нахождения степеней z является собирательный процесс [2, 3], который реализован в системах компьютерной алгебры GAP и MAGMA. Кроме того, существует альтернативный способ для вычисления произведений элементов группы, предложенный Ф. Холлом [4]. Холл показал, что z представляют собой полиномиальные функции (в нашем случае над полем Z7), зависящие от переменных x1,... , Xj, y1,... , yj, которые принято сейчас называть полиномами Холла. Согласно [4], Zj = Xj + yj + Pi(x1, . . . ,Xj-1,y1, . . . , yi-1). Необходимость применения полиномов Холла возникает при решении задач, требующих многократного умножения элементов группы. Исследование структуры графа Кэли некоторой группы является одной из таких задач [5, 6]. Проведённые вычислительные эксперименты на ЭВМ в двупорождённых группах периода пять [7] выявили, что метод полиномов Холла имеет преимущество перед традиционным собирательным процессом. Поэтому имеются основания полагать, что при изучении графов Кэли групп Bk применение полиномов окажется предпочтительнее собирательного процесса. Следует также отметить, что данный метод легко программно реализуем, в том числе на многопроцессорных вычислительных системах. В работе вычислены ранее неизвестные полиномы Холла для групп Bk при k < 4. Для k > 4 полиномы вычисляются аналогично, однако их вывод занимает значительно больше места, что делает невозможным проверить доказательство без применения ЭВМ. Основным результатом настоящей работы является Теорема 1. Пусть а^1 ... аП" и а^1 ... аП" -два произвольных элемента в группе Bk, записанные в коммутаторном виде, где k G N и k < 4. Тогда их произведение равно а^1 ... аП" ■ а!1 ... аП" = а11 ... аП", где z G Z7 - полиномы Холла, задаваемые формулами (1), (2) при k =1; (1)-(3) при k = 2; (1)-(5) при k = 3; (1)-(8) при k = 4: Z1 = X1 + У1, (1) Z2 = X2 + У2, (2) Z3 = X3 + Уз + X2y1, (3) Z4 = X4 + y4 + 3X2y1 + X3y1 +4X2y2, (4) Z5 = X5 + y5 + 3X2y1 + X3y2 + 4X2y1 + X2y1y2, (5) Z6 = X6 + ye + 5X2 y1 + 3X3y1 + X4y1 + 3X2y2 + 6X2 у3 + 4X3y2, (6) ОО ООО Z7 = X7 + У7 + 2X2y! + 2X2y1 + X4y2 + X5y1 + 5X2y: + 5X2y1 + 4X2y: У2 + + 3X2y1y2 + X3y1y2, (7) Z8 = X8 + У8 + 5X2y1 + 3X3y2 + X5y2 + 3X2y1 + 6X2y1 + 4X3y2 + 4X2 У1У2 + +4X2y1y2 + 6X2y1y2. (8)

Скачать электронную версию публикации