On self dual bent functions.pdf Булевой функцией / называется любое отображение / : Fn ^ F2. Скалярным произведением x ■ y двух векторов x = (xl, x2,..., xn) е Fn, y = (у:, y2,...,yn) е Fn n называется x ■ y = ф x^. Преобразованием Уолша - Адамара булевой функции / i=i от n переменных называется целочисленная функция Wf : Fn ^ Z, заданная равенством Wf(y) = Е (-1)f(x)+x^y. Булева функция / от чётного числа переменных n называется бент-функцией, если |Wf (y)| = 2n/2 для каждого y е Fn. Булева функция / называется дуальной к бент-функции /, если Wf (x) = (- 1)f(x)2n/2 для каждого x е Fn. Бент-функция / называется самодуальной (анти-самодуальной), если / = / (соответственно / = / ф 1). Носителем булевой функции / от n переменных называется множество supp(/) = {x е Fn : /(x) = 1}. Весом вектора x = (xl,x2, ... ,xn) е Fn n называется число wt(x) = Е xi. Весом Хэмминга булевой функции / называется вес i=i её вектора значений wt(/) = |supp(/)|. Сложной задачей является полная характе-ризация и описание класса самодуальных бент-функций. Этому вопросу посвящены несколько работ за рубежом (C. Carlet, L. E. Danielson, M. G. Parker, P. Sole, X. Hou и др.). В частности, в работе [1] перечислены все самодуальные бент-функции от 2, 4 и 6 переменных и все квадратичные самодуальные бент-функции от 8 переменных; в [2] приведена классификация всех квадратичных самодуальных бент-функций. Теорема 1. Булева бент-функция f от чётного числа переменных n является самодуальной (анти-самодуальной) тогда и только тогда, когда при каждом фиксированном y е Fn для булевой функции Fy (x) = f (x) ф f (y) ф x ■ y справедливо wt(Fy) = 2n-1 - 2n/2-1 (соответственно 2n-1 + 2n/2-1).

Скачать электронную версию публикации