Hall's polynomials over burnside groups of exponent three.pdf Пусть Bk = (k, 3) -бернсайдова k-порождённая группа периода 3. Ф. Леви и ван дер Варден доказали [1], что |Bk| = 3k+(2)+(3) и ступень нильпотентности Bk не превышает 3. Для каждой Bk несложно получить рс-представление (power commutator presentation) используя систему компьютерной алгебры GAP или MAGMA. Пусть ril1 ... а^ и aУ1 ... аПп -два произвольных элемента в группе Bk, записанные в коммутаторном виде. Тогда их произведение равно nx1 пХп . nVl ПУп - rtZ1 rtZn а1 . . . a,n а1 . . . a,n - а 1 ... an . Основой для нахождения степеней z, является собирательный процесс [2, 3], который реализован в указанных системах компьютерной алгебры. Кроме того, существует альтернативный способ для вычисления произведений элементов группы, предложенный Ф. Холлом [4]. Холл показал, что zi представляют собой полиномиальные функции (в нашем случае над полем Z3), зависящие от переменных x1,... ,xi,y1,... ,у,, которые принято сейчас называть полиномами Холла. Согласно [4], Zi = xi + yi + Pi(x1, . . .,xi-1,y1,. . . ,yi-1). Необходимость применения полиномов Холла возникает при решении задач, требующих многократного умножения элементов группы. Исследование структуры графа Кэли некоторой группы является одной из таких задач. Вычислительные эксперименты на ЭВМ в группах периода пять и семь [5, 6] выявили, что метод полиномов Холла хРабота выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ (проект Б 112/14) и гранта Президента РФ (проект МД-3952.2015.9). имеет преимущество перед традиционным собирательным процессом. Следует также отметить, что данный метод легко программно реализуем, в том числе на многопроцессорных вычислительных системах. В настоящей работе вычислены ранее неизвестные полиномы Холла для групп B при k ^ 4. Для k > 4 полиномы вычисляются аналогично, однако их вывод занимает значительно больше места. Заметим, что, вычислив полиномы для некоторого k, нетрудно получить полиномы Холла для меньших значений k. Получим в GAP рс-представление группы B4. Коммутаторы веса 1: ai, Й2, аз, Я4 - образующие группы. Коммутаторы веса 2: а5 = [а2, а'], а6 = [а3,а'], а7 = [а3,а2], а8 = [а4, а'], а9 = [а4,а2], а10 = [а4, а3]. Коммутаторы веса 3: aii = [а5,аз] = [а2,а1,аз], ai2 = [а5,а4] = [а2,ai,a4], а13 = [а6,а4] = [а3,аьа4], а14 = [а7,а4] = [а3, а2,а4]. Список определяющих соотношений R для базисных коммутаторов (тривиальные соотношения вида а3 = 1 и [aj, а^] = 1 для краткости не приводятся): [а2, а'] = а5, [а3, а'] = а6, [а3, а2] = а7, [а4, а'] = а8, [а4, а2] = а9, [а4, а3] = а10, [а5,а3] = ап, [а5,а4] = а12, [а6,а2] = а'', [а6,а4] = а13, [а7,а'] = а'', [а7,а4] = а14, [а8,а2] = а^2, [а8,а3] = а23, [ад,а'] = а'2, [ад,а3]= а^, [аю,а'] = а'3, [аш,а2] = ам. Таким образом, B4 = (а', а2, а3, а4, а5, а6, а7, а8, а9, а10, а'', а12, а13, а14 | R). Каждый элемент группы выражается единственным образом в виде нормального коммутаторного слова: Vg G B (g = а?1 а?2 а^3 а?4 а??6 а?6 а?7 а?8 а?9 а^0°, а?!1 ,а?22 Xf, а?44), хг G Z3. Основным результатом настоящей работы является Теорема 1. Пусть а?1 ... а?44 и а'1 ... а'44 -два произвольных элемента в группе B4, записанные в коммутаторном виде. Тогда их произведение равно а?1 ... а?44 х i4 формулами: zi = х' + yi, Z2 = х2 + У2, Z3 = х3 + У3, z4 = х4 + y4, Z5 = х5 + У5 + х2У1, Z6 = хб + Уб + х3У1, Z7 = х7 + У7 + х3У2, Z8 = х8 + У8 + х4У1, Z9 = хд + У9 + х4У2, Z10 = хю + У10 + х4У3, х аУ1... а'44 = а'1... аЦ4, где z G Z3 -полиномы Холла, задаваемые следующими Z11 = x11 + y11 + x5y3 + 2x6y2 + x7y1 + x2x3 y1 + x2 У1Уз + 2x3y1y2, Z12 = x12 + У12 + x5y4 + 2x8 У2 + x9y1 + x2x4 У1 + x2 У1У4 + 2x4y^2, Z13 = x13 + У13 + x10y1 + x6y4 + 2x8y3 + x3x4y1 + x3y^4 + 2x4y^3, Z14 = x14 + У14 + x1oy2 + x7y4 + 2xgy3 + x3x4y2 + x3y2y4 + 2x4y2y3.

Скачать электронную версию публикации