Functions with variative-coordinate polynomiality over group.pdf В [1] определён класс функций с вариационно-координатной полиномиальностью (ВКП-функций) над примарным кольцом вычетов, порождающий системы ВКП-урав-нений, для решения которых применим метод покоординатной линеаризации. В данной работе делается обобщение класса ВКП-функций на случай, когда полиномы рассматриваются над группой с нормальным рядом. Получающийся при этом класс ВКП-функций над группой даёт конструктивный пример дифференцируемых функций над группой, рассмотренных в [2]. Пусть задана группа G с нормальным рядом G = H0 >H\ >... > Hn = e. Как и в случае примарного кольца вычетов, для определения класса ВКП-функций над группой необходимо определить понятие координатной функции полинома над группой. Определение 1. Полиномом над группой G от переменной x будем называть выражение вида p(x) = g1 x£lg2x£2 ... gmx£m, где все «коэффициенты» gi - элементы группы G, а экспоненты ei принимают значения 1 либо -1. Каждый полином индуцирует функцию на G по следующему правилу: P(g) = gig£lg2g£2 . ..9m9£m. Определение 2. Функцию р : G ^ G будем называть полиномиальной, если она индуцирована некоторым полиномом над G. Определение 3. Для k Е {0,... , n - 1} будем называть функции Yk : G ^ Hk координатными функциями группы G относительно нормального ряда, если произвольный элемент 9 Е G однозначно представляется в виде произведения 9 = Y0(9)Yi(9) ■ ■ ■ Yn-1(9). Элемент 9(k) подгруппы Hk, равный 9(k) = Yk(9), будем называть k-й координатой элемента 9. Если задана функция f : G ^ G, то k-й координатной функцией функции f будем называть отображение Ykf : G ^ Hk, определяемое по правилу Ykf (9) = = Yk (f (9)). Координаты элемента группы определяются способом выбора представителей в факторах ряда и могут быть найдены с помощью алгоритма 1. Алгоритм 1. Нахождение координат элемента группы Вход: группа G = H0 > H1 > ■ ■ ■ > Hn = e с нормальным рядом, элемент 9 Е G, функции выбора представителей в факторах ряда s0,... , sn-2 (si : Hi/Hi+1 ^ Hi) Выход: набор координат (y0(9), ..., Yn-1(9)), Yi(9) Е Hi и 9 = Y0(9) ■ ■ ■ Yn-1(9) 1: Для всех i от 0 до n - 2 2: 9 := 9Hi+i, Yi(9) := si(9) 3: 9 := Yi(9) -19 4: Yn-1(9) := 9, конец Определение 4. Функцию f : G ^ G будем называть ВКП-функцией, если существуют полиномы p0,... ,pn- 1, такие, что для произвольных 9 Е G, k Е {0,... , n - 1} выполняется Yk f (9) = Yk Pk (9). Как видно из определения, класс ВКП-функций над группой определяется нормальным рядом в группе, способом выбора представителей в факторах ряда и тем, как понимать термин полинома над группой. Например, можно отказаться от требования полиномиальности либо рассматривать иначе определённые (например, так, как в [3]) полиномы. Далее полиномы понимаются в смысле определения 1. С практической точки зрения наибольший интерес представляют конечные группы. Известно, что конечные нильпотентные группы (интересующие нас, как относительно простые некоммутативные группы) исчерпываются прямыми произведениями конечных р-групп, каждая из которых, в свою очередь, изоморфно вкладывается в UTn(Zp) [4]. Поэтому в качестве основной интерпретации будем рассматривать группу унитреугольных матриц UTn(Zp) c центральным рядом UTn(Zp) = UT1(Zp) > UTn2(Zp) > ■ ■ ■ > UTnn(Zp) = e, где n ^ 3 и UTn(Zp) -подгруппа, состоящая из унитреугольных матриц с i - 1 нулевыми диагоналями над главной. Очевидно, что класс ВКП-функций над произвольной группой включает в себя класс полиномиальных функций. Обратное включение не выполняется. Теорема 1. Пусть G = UTn(Zp) и n ^ 3. Тогда класс ВКП-функций над G не совпадает с классом полиномиальных функций. Следующие теоремы дают критерий биективности ВКП-функции и формулу обращения биективной ВКП-функции над UTn(Zp). Теорема 2. Пусть G = UTn(Zp); f : G ^ G - ВКП-функция, заданная полиномами p0,... ,pn-2. Тогда f биективна на G, если и только если выполняются следующие два условия: 1) p0 биективен по модулю UT^ (Zp); степени полиномов p0, , pn-2 взаимно просты с p. Теорема 3. Пусть G = UTn(Zp); f : G ^ G - биективная ВКП-функция, заданная полиномами p0,... ,pn-2; k E {2,... ,n - 1}; Vk - обратная в смысле композиции ВКП-функция к f по модулю UTn(Zp). Тогда обратной к f по модулю UT?k+1(Zp) является функция Vfc+i(x) = vfc (x)(x 1f (vfc (x)))-(mod p). deg(pfc-i) 1 где m Рассмотрим группу G = UT3(Z3) с функцией s0 : UT3(Z3)/UTf (Z3) ^ UT3(Z3), выбирающей в качестве представителя смежного класса матрицу с нулевой верхней клет- / /1 2 2\ \ /1 2 0\ / /1 2 2\ \ /1 0 2^ кой. Тогда, например, y0 || 0 1 1]] = I 0 1 1 I , Y1 || 0 1 1]] = I 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 Построим следующие полиномы: 111 0 1 2 ,0 0 1, 102 0 1 2 ,0 0 1, 111 112 102 0 1 0 ] x, p1(x) = I 0 1 2 ] x I 0 1 2 1 p0(x) x x x. ,0 0 1, ,0 0 1, ,0 0 1, Занумеруем матрицы из UT3(Z3) следующим образом: = 1 + а1 + 3а2 + 9а3. I Тогда построенные полиномы индуцируют следующие перестановки номеров: p0 : (1,6,8)(2, 22,18)(3,14,25)(4, 27,11)(5,16,21)(7,12,23)(9, 20,13)(10,15,17)(19,24, 26), p1 : (1, 5,19,14,10, 23)(2,22)(3,15,12,6,21,24)(4, 20)(7,17,16, 8,25,26)(11,13)(18, 27). Построим по p0 и p1 ВКП-функцию f (x) = 70p0(x)71p1(x) : f : (1,6, 26)(2, 22, 9)(3,14,16)(4, 27,11,13,18, 20)(5, 25, 21, 23, 7,12)(8,19,15,17,10, 24). 1 а1 а3 0 1 «2 0 0 1 В качестве обратной к / по модулю UT32(Z3) возьмём функцию, индуцированную /1 1 0\ полиномом p(x) = 0 1 2 x. Степень p1 равна 2, значит, m = 2 и обратная пере- 0 V становка к / получается как g(x) = p(x)(x 1/(p(x))) 2: g : (1, 26, 6)(2,9, 22)(3,16,14)(4, 20,18,13,11, 27)(5,12, 7, 23, 21, 25)(8, 24,10,17,15,19). Таким образом, при фиксированных нормальном ряде в группе и способе выбора представителей в факторах этого ряда определён класс ВКП-функций над группой. Функции класса задаются набором полиномов и получаются как произведение их координатных функций. Класс ВКП-функций над UTn(Zp) не совпадает с классом полиномиальных функций над UTn(Zp) (теорема 1). К ВКП-функциям применимы критерий биективности и формулы обращения дифференцируемых функций, которые в случае G = UTn(Zp) принимают вид теорем 2 и 3 соответственно.

Скачать электронную версию публикации