On the set of values for hamming distance between self-dual bent functions.pdf Булевой функцией f называется любое отображение f : Zn ^ Z2. Скалярным произведением (x,y) двух векторов x = (x1, x2,..., xn) Е Zn, y = (y1, y2,..., yn) Е Zn n называется число ф x^, где операция ф есть сложение по модулю 2. Преобразовани-i=1 ем Уолша -Адамара булевой функции f от n переменных называется целочисленная функция Wf : Zn ^ Z, заданная равенством Wf (y) = (-1)f(x)®(x>y). Булева функция f от чётного числа переменных n называется бент-функцией, если |Wf (y)| = 2n/2 для каждого y Е Zn [1]. Булева функция f называется дуальной к бент-функции f, если Wf (x) = (-1)f(x)2n/2 для каждого x Е Zn. Бент-функция f называется самодуальной (анти-самодуальной), если f = f (соответственно f = f ф 1). Расстояние Хэмминга между булевыми функциями f, g от n переменных - число двоичных векторов длины n, на которых эти функции принимают различные значения, обозначается как dist(f, g). Известна следующая конструкция бент-функций: конструкция Мэйорана - МакФарланда (1973): пусть п - любая перестановка на ZnJ2, а h - произвольная булева функция от n/2 переменных. Тогда функция f (x,y) = (x,n(y)) ф h(y) является бент-функцией от n переменных [2]. Эта конструкция является достаточно богатой. В работе [3] найдены необходимые и достаточные условия самодуальности бент-функции, построенной с помощью конструкции Мэйорана - МакФарланда, в случае п Е GL(n/2,Z2). Сложной задачей является полная характеризация и описание класса самодуальных бент-функций. Этому вопросу посвящены несколько работ за рубежом (C. Carlet, L. E. Danielson, M. G. Parker, P. Sole, X. Hou, T. Feulner, L. Sok, A. Wassermann и др.). В частности, в работе [3] перечислены все самодуальные бент-функции от 2, 4, 6 переменных и все квадратичные самодуальные бент-функции от 8 переменных. В [4] приведена классификация всех квадратичных самодуальных бент-функций. Аффинную классификацию квадратичных и кубических самодуальных бент-функций от 8 переменных можно найти в [5]. В данной работе получен полный спектр расстояний Хэмминга между самодуальными бент-функциями из класса Мэйорана - МакФарланда со следующим ограничением: перестановка, фигурирующая в конструкции, должна быть элементом полной линейной группы соответствующего порядка. Теорема 1. Пусть f, g - различные бент-функции от чётного числа переменных n ^ 4, построенные с помощью конструкции Мэйорана - МакФарланда при условии, что перестановка, фигурирующая в данной конструкции, является элементом GL(n/2,Z2). Если бент-функции f,g самодуальные, то dist (f, g) Е {2n-1, 2n-1 (1 ± 1/2), 2n-1 (1 ± 1/22) ,..., 2n-1 (1 ± 1/2n/2-1) , 2n}. Следствие 1. Пусть f, g - различные самодуальные бент-функции от чётного числа переменных n ^ 4, построенные с помощью конструкции Мэйорана - МакФар-ланда при условии, что перестановка, фигурирующая в данной конструкции, является элементом GL(n/2, Z2). Тогда dist(f, g) ^ 2n-2.

Скачать электронную версию публикации