Characterization of linear transformations defined by finite field hadamard matrices and circulant matrices.pdf В большинстве современных блочных XSL-шифрсистем преобразования линейного слоя, обеспечивающие хорошее рассеивание, являются приводимыми. Например, матрицы Адамара над конечным полем (KHAZAD [1], ANUBIS [2]), циркулянтные матрицы (AES [3], WHIRLPOOL [4]), подстановочные матрицы (SP-сети) гарантированно имеют инвариантные подпространства. Наличие инвариантных подпространств приводит к импримитивности группы C(g) [5], порождённой слоем наложения ключа V+ и приводимой матрицей g G GLn(2). Системы импримитивности этой группы сохраняются линейным слоем и слоем наложения ключа, поэтому рассеивание блоков импримитивности в алгоритме шифрования может обеспечить только слой s-боксов. Подобные слабости успешно использованы в работах [6, 7] по исследованию шифрсистем KHAZAD и PRINT. Обозначим через P = GF(2п) конечное поле, n G N. Определение 1 [8, 9]. Пусть m G No. Матрица H = (hi,j) G P2 m 2m называется матрицей Адамара над конечным полем (FFH-матрицей), если для некоторого вектора (а0,... , a2m-i) G P2m выполняется соотношение hi,j = aiej. При этом матрицу H будем обозначать H = had(a0,..., a2m-1). В работе получены следующие простейшие свойства FFH-матриц. 2m-1 Утверждение 1. Пусть H = had(a0,... , a2m-1) G P2m,2m, r = ai G P. Тогда i=0 1) H - симметрическая матрица; 2) H2 = r2E; 3) класс FFH-матриц замкнут относительно операций сложения и умножения матриц, умножения матрицы на константу, тензорного произведения матриц; 4) H подобна верхнетреугольной матрице и её характеристический многочлен имеет вид хн(x) = (x + r)2m; 5) если H1, H2 G P2m,2m -FFH-матрицы, то H1H2 = H2H1. Далее опишем инвариантные подпространства матриц Адамара. Теорема 1. Пусть m G N и H = had(a0,... , a2m-1) g P2m,2m. Пусть также H = ^ ^ U ^ и матрица V G P2m-i,2m-i невырождена. Тогда каноническая форма матрицы Ex + H G P [x]2m,2m имеет вид 2m-1 K(Ex + H) = diag(1,..., 1, (x + r)2,..., (x + r)2), где r = ai. i=0 Определение 2 [10]. Пусть m Е N. Матрица C = (ci,j )m,m называется циркулянтом (циркулянтной матрицей), если для некоторого вектора (c0,ci,... ,cm-i) Е Pm выполняется ci,j = cj-i для любых i,j Е (Zm, +). Далее матрицу C будем обозначать circ(co,ci,... ,cm-i). Всюду далее рассматриваются циркулянты размера 2m х 2m. Опишем класс инвариантных подпространств для циркулянтных матриц. Утверждение 2. Пусть m Е N, C = circ(c0,c1,... , c2m-1) Е P2m,2m. Тогда харак- 2m-1 теристический многочлен матрицы C имеет вид хс(x) = (x + r)2 , где r = ci. i=0 Матрица C подобна верхнетреугольной матрице, и матрица Cm, осуществляющая подобие, имеет вид C = ( 1 о\®m р Cm = I i i I Е P2m ,2m. Таким образом, матрица Cm задаёт систему вложенных инвариантных подпространств преобразования, задающегося матрицей C. Данные подпространства имеют вид где C^ - вектор-столбцы матрицы Cm для i Е {1,... , 2m}.

Скачать электронную версию публикации