Improved estimates for the number of (n, m, k)-resilient and correlation-immune boolean mappings.pdf В настоящее время использование систем распределённого реестра, основанных на технологии цепной записи данных (блокчейн) [1], становится всё более распространённым в самых различных отраслях современной цифровой экономики [2]. Пандемия COVID-19, продолжавшаяся весь 2020 год и не оконченная до сих пор, дала, согласно мнению ряда экспертов [3], дополнительный импульс развитию дистанционных доверенных сервисов, основой функционирования которых являются системы распределённых реестров, признанные в Российской Федерации, согласно [4], средством криптографической защиты информации. Как уже отмечалось в [5], в связи с расширением применения технологии блокчейн жизненно важным становится исследование информационной безопасности систем распределённого реестра, на этой технологии основанных. Одним из способов обеспечения безопасности данных в подобных системах является использование шифрования, например поточного, в связи с чем возникает задача оценки числа корреляционно-иммунных и (n, m, к)-устойчи-вых двоичных отображений, которые могут быть использованы в системах поточного шифрования в качестве комбинирующих отображений. Понятия корреляционной иммунности и (n. m. k)-устойчивости будем понимать в соответствии с [6], где подробно рассмотрены их свойства. Задаче оценки числа отображений и булевых функций, обладающих соответствующими свойствами, посвящён целый ряд работ, среди которых можно отметить [7- 10]. Ряд результатов был доложен автором на конференциях SIBECRYPT [11-13]. Обозначим через Vn множество двоичных векторов размерности n. Корреляционная иммунность и k-эластичность (или (n. m. k)-устойчивость) двоичного отображения f (а) = (f1 (а) . f2 (а) ..... fm (а)) : Vn V Vm, согласно [6], сводится к обладанию этими свойствами всеми ненулевыми линейными комбинациями координатных функций (компонентами [14]). В [15, 16] получены асимптотические оценки числа корреляционно-иммунных и (n. m. к)-устойчивых двоичных отображений с точностью до оценок мощности множества специального вида К** (m. N): К** (m.N) = {- (rj. 0 = J С {1..... m}. I C {1.... . n}. |I| < k) G (Z^-x)N : VI Vs g{1.....-}V5 G Vm( £ (-1)GWm(J)) j = 0 J C{1,...,m}, seJ где Z2m-i - кольцо вычетов по модулю 2m 1; г':11 (J) - индикаторный вектор множества J С {1..... m} [17]. Если использовать обозначение [8] м (n.k) = r(n Y s=0 s то легко показать, что К** (m.N) = (К (m))M (n,k) . где К (m) ={ V = (rJ. 0 = J C {1.... . m}) G (Z2m-i)2 1 : Vs G {1..... m} V 0, п > п0 верны неравенства m2 - m - 12 2 +17 M (п, k) - £1 < log2 |R [п, m, k] | - m2n + T (п, m, k) < ((16m - 47) 2m 4 - m + 3) M (п, k) + £2. Следствие 2. Пусть при всех достаточно больших п для произвольного 0 < y < < 5/18 выполняется неравенство k (5 + 21од2п) + 6m < п (5/18 - y)• Тогда существует п0, такое, что для любых £1,£2 > 0, п > п0 верны неравенства ^m2 - m - 12 ( 2 +17) M (п, k) - £1 < < log2 |K (^m, k)| - m2n - п ' 1 ± |og2 n - (2m - 1) + m2m-1 < ((16m - 47) 2m-4 - m + 3) M (п, k) + 2 + T (п, m, k) < m-4 Полученные в следствиях 1 и 2 результаты улучшают оценки, полученные ранее в работах [11, 12, 16, 18].

Скачать электронную версию публикации