Optimal curves of genus 3 over finite field with discriminant -19 ..pdf Пусть E - эллиптическая кривая, определенная над конечным полем Fq с дискриминантомd(Fq) = [2^q]2 - 4q = -19.Если число рациональных точек кривой равно q + 1 ± g[2^/q], то кривая называетсямаксимальной (соответственно минимальной) кривой. Будем называть такие кривыеоптимальными над Fq.Теория Хонда - Тэйта [1] показывает, что для максимальной (минимальной) кривойC имеет место изогения Jac(C) ~ E9, где E - максимальная (минимальная) эллиптическаякривая над конечным полем Fq. Класс изогении эллиптической кривой Eопределяется с помощью характеристического многочлена эндоморфизма Фробениусакривой E.Пусть Jac(C) -главное поляризованное якобиево многообразие кривой C с тэта-дивизором в. По теореме Торелли [2] кривая C полностью определена посредством(Jac(C), в) с точностью до изоморфизма над алгебраическим замыканием поля Fq. Рассмотримэрмитов модуль (OaK; h), где OaK является OK-модулем, и h : OaK х OaK ^ OK -эрмитова форма. Эквивалентность категорий определяется посредством функтораF : Jac(C) - > Hom(E, Jac(C)) и обратного к нему V : O9K - > O9K 0 Ок E. Относительноэтой эквивалентности главная поляризация якобиана Jac(C) соответствуетнеприводимой эрмитовой Ok -форме h. Таким образом, мы можем использовать классификациюунимодулярных неприводимых эрмитовых форм для изучения изоморфныхклассов Jac(C).Получение оптимальных (максимальных) алгебраических кривых над конечнымполем является важной проблемой в дискретной математике, решение которой имеетмногочисленные приложения в криптографии и теории кодирования. На таких кривыхможно строить алгебро-геометрические коды большой длины, и трудность разрешенияпроблемы дискретного логарифма в якобиане такой кривой гарантирует криптостойкостьсоответствующей криптосистемы. В работе представлены максимальные и минимальныеоптимальные кривые рода 3 над конечным полем с дискриминантом -1 9мощности до 997.Теорема 1.1. Над полем Fq не может одновременно существовать максимальной и минимальнойоптимальной кривых.2. Если C - оптимальная кривая рода 3 над конечным полем Fq с дискриминантом- 19, то C не является гиперэллиптической.Теорема 2. Оптимальная кривая C задается следующими уравнениями:J z2 = а0 + a 1x + a 2x2 + во y,\ y2 = x3 + ax + b,илиJ z2 = а0 + a 1x + a 2x2 + (в0 + в 1х)у,[ y2 = x3 + ax + b,илиJ z2 = a0 + a 1x + a 2x2 + a 3x3 + (в0 + e 1x)y,\ y 2 = x3 + ax + b,где a0, a 1, a 2, в0, в 1, a, b - коэффициенты из Fq. Эллиптическая кривая E задана уравнениемy2 = x3 + ax + b.

Скачать электронную версию публикации