Connections between subspaces on which bent function and its dual function are affine..pdf Настоящая работа является продолжением исследований, начатых в [1]. Ранее былоустановлено, что минимальное расстояние Хэмминга между бент-функциями от n переменныхравно 2n/2 и бент-функции находятся на этом расстоянии тогда и толькотогда, когда их значения отличаются на аффинном подпространстве и обе функциина нем аффинны. В данной работе для бент-функции и дуальной к ней устанавливаетсясоответствие между подпространствами, на которых каждая из них аффинна.Бент-функция - это булева функция от четного числа переменных, максимальноудаленная от класса аффинных функций (функций вида a1x 1 ф a2x2 ф ... ф anxn ф an+1).C бент-функцией / часто связывают дуальную функцию / , которая определяется изравенстваWf (w) = 2n/2(-1)f(w),где Wf (w) = E (-1)f(x)®(w,x^- коэффициенты Уолша - Адамара.xez^(По альтернативному определению бент-функция - это такая функция, для которойвсе коэффициенты Уолша - Адамара по модулю равны 2n/2.)Теорема 1. Не для всех бент-функций от n переменных, n ^ 14, существуютбент-функции на минимальном расстоянии 2n/2.Эта теорема следует из результатов, полученных в [1, 2]. В работе A. Canteautи др. рассматриваются нормальные и ненормальные бент-функции. Бент-функция от nпеременных называется нормальной (слабо нормальной), если существует аффинноеподпространство размерности n/2, на котором она постоянна (аффинна). В [2] доказываетсясуществование не слабо нормальных бент-функций.Пусть / - бент-функция от n переменных. Множество Laii(f) - множество всех аффинныхподпространств размерности n /2, на которых функция / аффинна.Чтобы понять, есть ли в распределении функций на минимальном расстоянии регулярныесвойства, рассмотрим задачу построения бент-функций на минимальном расстоянииот / с условием, что получившиеся бент-функции обязательно должны отличатьсяот / в заданной точке x0. Определим множество L^K/) = {L Е Lall( / ) | x0 Е L}.Тогда все функции с нужным свойством будут строиться с помощью множества Lx^ (/).Чтобы рассмотреть это множество с другой стороны, сделаем следующее.Определим функцию Ff : Lall( / ) ^ Lall( /) следующим образом: если / |xo®L(x) == (w0,x) ф с для некоторых векторов w0,x 0, константы с и подпространства L, тосправедливо Ff (x0 ф L) = w0 ф Lx .Лемма 1. Функция Ff задана корректно.Теорема 2. Функция Ff взаимнооднозначна, причем (Ff) -1 = Ff.Таким образом, мы получаем, что множество LxO( /) состоит из элементов видаx0 ф L, таких, что функция /(x ) ф (x0,x) на некотором сдвиге Ь± постоянна.Но так как дуальная функция является бент-функцией, а бент-функции равноудаленыровно от половины аффинных функций, то встает вопрос: равны ли мощностиLx0l(/) для различных x0? Как выяснилось, в общем случае это не так, хотя и существуютфункции с одинаковыми мощностями LxO(/). Например, все бент-функции отшести переменных обладают такой регулярностью.

Скачать электронную версию публикации