An algorithm of computing D-gap numbers and D-weierstrass points..pdf Множество вейерштрассовых точек является важным инвариантом алгебраическойкривой, который можно использовать для изучения автоморфизмов. Исследуя вейер-штрассовы точки, можно, например, показать, что группа автоморфизмов кривой ко-нечна. Рассмотрим функциональные поля кривых; будем использовать определения иобозначения из [1, 2].Будем полагать, что F/k - алгебраическое функциональное поле степени транс-цендентности один над полем констант k. Предполагаем, что F/k имеет сепари-рующий элемент и род д поля F/k инвариантен относительно расширения по-ля констант. Считаем также известными процедуры вычисления точек, дивизо-ров и пространств, ассоциированных с дивизором D (пространства Римана - Роха):L(D) = [а е Fх : (а) + D ^ 0} U(0|.Определение 1. Пусть D -дивизор, P - точка степени один поля F/k. Целоечисло ^ ^ 1 называется D-пробельным числом точки P, если L ( D + (^ - 1)P) == L (D + ^P).Теорема 1. Все точки степени один поля Fk/k, быть может кроме конечного ихчисла, имеют одинаковые conpk/F (D)-пробельные числа.Определение 2. D-пробельные числа поля F/k определены почти для всех то-чек по предыдущей теореме. Точка степени один поля F/k называется D-вейерштрас-совой точкой, если ее D-пробельные числа отличны от D-пробельных чисел поля F/k.Теорема 2. Существует, по крайней мере, одна вейерштрассова точка поля Fk/kдля д ^ 2, где k - алгебраическое замыкание поля k.Пусть L - линейная система поля F/k. Отметим, что L можно рассматривать какмножество эффективных дивизоров [(а) + E : а е V - [0}} для дивизора E и неко-торого k-линейного пространства L(E). Полной линейной системой является линей-ная система, определенная с помощью E и L(E). Отметим также, что для любогодивизора E е L полная линейная система определена с помощью E и k-линейногопространства V, порожденного [а е Fх : (а) = D - E, D е L}. Таким образом, можнорассматривать L как класс эквивалентности пары (E, V), где (E, V) ~ (E - ).Следует также отметить, что deg(L) = deg(E), dim(L) = dim(V). Будем полагать, чтоL(^P) = [D е L : vP(D) ^ для целого ^ ^ 0.Определение 3. Пусть L - полная линейная система и P - точка степени один.Целое число ^ ^ 0 называется порядком (вронскианом) L в точке P, если L(^P) == L((u + 1)P).Теорема 3. Пусть L - полная линейная система, определенная с помощью W-D.Тогда ^ является D-пробельным числом тогда и только тогда, когда ^ - 1 - порядок Lв точке P.В соответствии с теоремой 3, для того, чтобы вычислить пробельные числа и вей-ерштрассовы точки, достаточно исследовать порядки L в различных точках.Теорема 4. Каждый порядок ^ линейной системы L в точке P удовлетворяетусловию 0 ^ ^ ^ deg(L). Существует dim(L) порядков L в точке P.Определение 4. Пусть L - полная линейная система, определенная с помощьюE и V. Пусть v\,... ,vn - базис V, x - сепарирующий элемент F/k и .\,... ,en - по-рядки L. Дивизор R(L) = (det(DXi.i)(vj ) + ( el (dx) + nE называется дивизоромVi=1ветвления в L.Опишем алгоритм вычисления вейерштрассовых точек алгебраического функцио-нального поля, ассоциированного с алгебраической кривой, произвольной характери-стики.Алгоритм 1Вход: Функциональное поле F/k, сепарирующий элемент x, дивизор D.Выход: D-пробельные числа и D-пробельные вейерштрассовы точки.Шаг 1. Вычисляем канонический дивизор W := (dx).Шаг 2. Если dim(W - D) = 0, то дивизор ветвления полной линейной системы,определенной с помощью W - D, является нулевым и не существует D-пробельныхчисел и D-пробельных вейерштрассовых точек. Алгоритм завершен.Шаг 3. Вычисляем базис v1 , . . . , vn в L ( W - D).Шаг 4. Полагаем e1 := 0; M := (v1,...,vn); i := 1; e := 0; G := 0.Шаг 5. i := i + 1. Если i > n, то переходим к шагу 8.Шаг 6. e := e + 1. Если =0 в k для некоторого g Е G, то G := G У {e} иповторяем шаг 6.Шаг 7. Обозначим M Е Fi X n - матрица, полученная добавлением Die )(v1),...,Die)(vn)) к M. Если rank M > rank M, то M := M; e^ := e и переходим к шагу 5.Иначе G := Gy {e} и переходим к шагу 6.Шаг 8. Вычисляем дивизор ветвления R := (det(M)) + ^^ e^ (dx) + n(W - D)полной системы, определенной с помощью W - D.Шаг 9. Возвращаем e1 + 1, . . . , en + 1 и точки степени один, лежащие в носителе R.Пример 1. Рассмотрим функциональное поле F/k, определенное уравнениемy7 + y = x4 над полем F4g. Род поля g = 9, число точек степени один N = 176.Используя алгоритм, получаем, что 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 15 - пробельные числа по-ля F/k. Все 176 точек степени один являются вейерштрассовыми точками. Существу-ют 8 вейерштрассовых точек веса 9 с пробельными числами 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 13, 17и 168 вейерштрассовых точек веса 5 с пробельными числами 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11,17. Дивизор ветвления имеет степень 912. Все вычисления были проведены в системекомпьютерной алгебры MAGMA.

Скачать электронную версию публикации