C-model of a predator - prey growth in the ecological niche.pdf Каузальная сеть (К-сеть) -это маркированная сеть Петри, в которой для каждогоперехода задана интенсивность события перехода как функция от маркировки вход-ных позиций перехода. Вид этих функций зависит от предметной области и задаётсяотдельно в каждом конкретном случае. Потоки событий переходов простейшие, т. е.стационарные (интенсивности меняются медленно), ординарные и без последействия.Как и сеть Петри, К-сеть может использоваться для моделирования сложных си-стем, состоящих из множества взаимодействующих элементов, такие системы будемназывать популяциями. Абстрагируясь от природы популяции, будем называть её эле-менты автоматами. Автомат может, как обычно, менять состояние сам, а может зави-сеть от любого числа автоматов, находящихся в подходящих состояниях. Популяцииавтоматов пригодны для исследования разнообразных массовых объектов: биологи-ческих, экономических и технических систем, параллельных программ [1]. С этой це-лью автоматы должны иметь стохастические характеристики - вероятности переходовв каждом такте. Поскольку число состояний популяции чрезвычайно велико, вычис-ления проводятся не для всех состояний популяции, а для среднего числа автоматовв различных состояниях. Таким образом, полученный случайный процесс представ-ляет динамику популяции «в среднем». Трудность состоит в том, что в известномметоде динамики средних все компоненты независимы друг от друга. Между тем ос-новное свойство, которое влияет на поведение популяции, - взаимодействия междуавтоматами. Следует как-то учесть эти взаимодействия в методе динамики средних.Отсутствие метрики в популяции позволяет исследовать такие случайные системы,используя достижения теории параллельных процессов [2].Определение 1. Каузальная сеть - это двудольный граф G = (Q, D, In, Out, M,R), где- Q = {q» : i = 0,1,... , n} -множество позиций, соответствующее множеству состо-яний, на которых определены все автоматы;- D = {dj : j = 1, 2,... , m} -множество переходов автоматов из состояния в состоя-ние;- In - функция предшествования, которая ставит в соответствие каждой паре (q», dj)неотрицательное число kj ^ 0, где kj - вес дуги из позиции q» в переход dj; еслисоответствующей дуги нет, kj = 0;- Out - функцияследования, которая ставит в соответствие каждой паре (dj, q»)неотрицательное число kj ^ 0, где j - вес дуги из перехода dj в позицию q»;если соответствующей дуги нет, kj = 0;Mt = {Nit : i = 1, 2,... , n} -вектор маркировки, своими компонентами задающийчисло автоматов, находящихся в момент времени t в каждом из состояний множе-ства Q;- R = {pj(Mt(*dj)) : j = 1,...,m} -вектор-функция интенсивностей переходов,определяющая среднее число срабатываний перехода dj в течение одного такта,или число таких срабатываний в единицу времени, зависящее от маркировки мно-жества *dj -входных позиций перехода.Позиция qo Е Q называется внешней, имеет сколь угодно большое или единичное(если надо) значение маркера No, не меняет его при переходах и не изображается нарисунке графа. Состояния автоматов и позиции множества {q^ : i = 1,... , n} назовёмсобственными. Граф G изображает причинно-следственные связи между состояниямиавтоматов и интенсивности этих связей.В отличие от канонической сети Петри множество весовых коэффициентов дугкаузальной сети - это положительные действительные числа, приписанные входными выходным дугам j-го перехода: kj или j соответственно. Точно так же мы будемдопускать действительные числа в качестве маркеров N для позиций. Это позволитмаркировать сеть вероятностями состояний автоматов и вообще избавиться от целыхчисел. В таких случаях будем считать популяцию счётным множеством.Компьютерное описание графа каузальной сети (К-модель) - это статическаячасть - маркировка M0 в начальный момент времени t = 0 и динамическая часть -описание переходов. Каждый переход dj описывается тремя выражениями: 1) пере-числение множества *dj с коэффициентами kj; 2) перечисление множества d* с ко-эффициентами j и 3) интенсивность pj (Mt(*dj)) перехода. В общем случае описаниеперехода - это выражение вида *dj > d* : pj(Mt(*dj)) : тип перехода. Тип перехода за-висит от зоны действия и расположения автоматов в системе. Линейный переход соот-ветствует дальнодействию в системе, нелинейные переходы: раствор - равномерномураспределению автоматов во всей системе (как медведи в тайге) и смесь - собраниювзаимодействующих автоматов в одном месте (как птичий базар). Внешнее состояниев К-модели изображается звёздочкой *.Интерпретация предложенного описания популяции зависит от единицы времениравной длительности такта. Если единица времени достаточно мала, то pj ^ 1 - веро-ятности переходов в течение такта, а pj (Mt(*dj)) -среднее число автоматов, изменяю-щих состояние за такт. Если единица времени велика, то pj - интенсивности переходоводного автомата, а величины pj(Mt(*dj)) -это интенсивности потоков допустимых пе-реходов на всём множестве автоматов, готовых к переходу. В первом случае мы имеемсинхронную модель популяции и можем потактно вычислять вектор Mt, во втором -асинхронную модель, которая порождает систему уравнений [1], подобных уравнениямКолмогорова - Чепмена.Для иллюстрации простой популяции рассмотрим известную модель «хищник -жертва» в ограниченной экологической нише. Пусть H - число хищников, ZH - чис-ло живых жертв, M - число экологических мест, P - количество убитых жертв, т.е.пищи для воспроизводства хищников. Описание К-сети настолько простое, что не нуж-дается в длинных комментариях:H(0) = 50, ZH(0) = 50, M(0) = 100, P(0) = 0 (полная ёмкость ниши N = 200 особей);ZH, M > 2ZH : 0,01 min{ZH, M} : линейно (если место есть, то жертва его найдёт иродит новую);H, H > M : 0,01H : линейно (хищник обязательно умирает от голода и старости);H,ZH > H,M,P : 0,05: жертву, ибудет пища);H, P > 2H : 0,05-H- - P : смесь (хищники находят принесённую пищу и размножаются).На рис. 1 показаны результаты реализации этой модели программой «Популяция».Моделирование обходится без получения системы нелинейных дифференциальныхуравнений динамики средних.Рис. 1. Хищники и жертвы в ограниченной экологической нише.H - количество хищников; ZH - количество жертв; M -количество экологических мест; P - количество добытойпищиСледует заметить, что в предлагаемой программе моделирования вовсе не обяза-тельно подробно описывать вероятности переходов, заданные здесь формулами. До-статочно задать только численные характеристики - коэффициенты модели (здесь0.01.и 0,05) и типы нелинейных переходов. Остальные части вероятностей перехо-дов (min{ZH, M} и H ZH/N) стандартны и вычисляются программой согласно типуперехода.

Скачать электронную версию публикации